Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a A área do triângulo BCD é 292,97 m², que não corresponde a nenhuma alternativa..

A ideia por trás

O triângulo retângulo tem um ângulo de 90°, e os dois lados que formam esse ângulo são os catetos; o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa, sempre o maior lado. As relações métricas ligam os lados e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, e o Teorema de Pitágoras é a mais famosa delas: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

No triângulo retângulo, se traçarmos a altura a partir do ângulo reto até a hipotenusa, ela divide a hipotenusa em duas projeções: a projeção de um cateto é o pedaço da hipotenusa que fica ao lado do outro cateto. A relação métrica do cateto diz que o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. Isso vale apenas quando o segmento traçado é a altura, ou seja, perpendicular à hipotenusa.

Aqui, a cerca BD não é a altura do triângulo ABC, pois não é perpendicular a AC. Precisamos primeiro achar o cateto AC pelo Teorema de Pitágoras e depois usar a relação métrica do cateto para achar a projeção DC, que será a base do triângulo BCD.

O que a questão dá

• AB = 15 m

• BC = 25 m

• BD = 17 m

• triângulo ABC é retângulo em B

• D está sobre AC

O que queremos: a área do triângulo BCD

Passo 1 — Achar o cateto AC pelo Teorema de Pitágoras

No triângulo ABC, conhecemos dois lados: AB = 15 m e BC = 25 m. Como BC é o maior lado, ele é a hipotenusa, e AB é um cateto. Para achar o outro cateto AC, usamos o Teorema de Pitágoras, que relaciona os três lados do triângulo retângulo.

Por que esta fórmula: O Teorema de Pitágoras é a relação fundamental do triângulo retângulo: a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos.

De onde vem cada valor: $BC$ = enunciado: 25 m · $AB$ = enunciado: 15 m

Passo 2 — Achar a projeção DC pela relação métrica do cateto

A cerca BD de 17 m não é perpendicular a AC, então não é a altura. Mas o triângulo ABC tem uma altura relativa à hipotenusa, que é o segmento perpendicular a AC passando por B. O ponto onde essa altura encontra AC é o pé da altura, e a projeção do cateto BC sobre a hipotenusa é o segmento do pé da altura até C. Precisamos achar essa projeção para usar como base do triângulo BCD.

Por que esta fórmula: A relação métrica do cateto diz que o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. Aqui, o cateto BC tem projeção DC sobre a hipotenusa AC.

De onde vem cada valor: $BC$ = passo 1: 25 m · $AC$ = passo 1: 20 m

Passo 3 — Calcular a área do triângulo BCD

Agora temos a base DC do triângulo BCD, mas precisamos da altura relativa a essa base. A altura do triângulo BCD em relação à base DC é a mesma altura do triângulo ABC em relação à hipotenusa, pois ambos têm a mesma base AC (e DC é parte dela). Essa altura é a distância do ponto B até a reta AC.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é (base × altura) / 2. Precisamos achar a altura h do triângulo ABC, que pode ser calculada pela relação: cateto × cateto = hipotenusa × altura.

De onde vem cada valor: $AB$ = enunciado: 15 m · $BC$ = enunciado: 25 m · $AC$ = passo 1: 20 m

Passo 4 — Calcular a área do triângulo BCD

Com a base DC e a altura h, podemos calcular a área do triângulo BCD.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura.

De onde vem cada valor: $DC$ = passo 2: 31,25 m · $h$ = passo 3: 18,75 m

Resposta: A área do triângulo BCD é 292,97 m², que não corresponde a nenhuma alternativa.