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Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2025

MatemáticaSistemas Lineares
Código
vu219083
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Itatiba
Ano
2025
Cargo
Prof ( )
Considere o sistema de equações lineares a seguir:{4x−2y+3z=8x−3y+4z=−4−x+y−2z=−2\begin{cases}4x-2y+3z=8 \\ x-3y+4z=-4 \\-x+y-2z=-2 \end{cases} Resolvendo o sistema, é correto afirmar que y · z é igual a
  1. A6.
  2. B8.
  3. C10.
  4. D12.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 10.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a y · z = 10 — alternativa C.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Resolver o sistema é achar os valores de x, y e z que satisfazem todas as equações. Quando há três equações e três incógnitas, normalmente existe uma única solução — um trio de números que, substituído, torna todas as igualdades corretas.

O método do escalonamento combina as equações para ir eliminando incógnitas: primeiro usamos uma equação para sumir com o x das outras duas, depois usamos uma das novas equações para sumir com o y da última. No fim sobra uma equação só com z, que resolvemos de trás para frente. Cada combinação é uma soma ou subtração de equações multiplicadas por números, e o sistema continua com a mesma solução.

Esta questão pede apenas o produto y · z, então não precisamos achar x. Vamos escalonar até obter y e z, e depois multiplicar.

O que a questão dá

  • 4x - 2y + 3z = 8

  • x - 3y + 4z = -4

  • -x + y - 2z = -2

O que queremos: o valor do produto y · z

Passo 1 — Eliminar x da segunda equação

Para começar o escalonamento, precisamos que a segunda equação fique sem a incógnita x. Assim, o sistema fica com duas equações envolvendo apenas y e z, que são as que nos interessam.

Por que esta fórmula: Multiplicamos a segunda equação por 4 e subtraímos a primeira: isso faz o termo 4x da segunda cancelar com o 4x da primeira, eliminando o x.

4⋅(II)−(I)4 \cdot (II) - (I)

De onde vem cada valor: 4⋅(II)4 \cdot (II) = enunciado: segunda equação x - 3y + 4z = -4 multiplicada por 4 · (I)(I) = enunciado: primeira equação 4x - 2y + 3z = 8

4(x−3y+4z)−(4x−2y+3z)=4(−4)−84(x - 3y + 4z) - (4x - 2y + 3z) = 4(-4) - 8
−10y+13z=−24-10y + 13z = \boxed{-24}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: lembre que subtrair (I) é o mesmo que somar o oposto de cada termo.

Passo 2 — Eliminar x da terceira equação

Agora precisamos que a terceira equação também fique sem x, para ficarmos com duas equações só em y e z. Vamos usar a primeira equação novamente, mas de um jeito que cancele o -x da terceira.

Por que esta fórmula: Somamos a primeira equação com 4 vezes a terceira: o 4x da primeira soma com -4x da terceira multiplicada por 4, zerando o x.

(I)+4⋅(III)(I) + 4 \cdot (III)

De onde vem cada valor: (I)(I) = enunciado: primeira equação 4x - 2y + 3z = 8 · 4⋅(III)4 \cdot (III) = enunciado: terceira equação -x + y - 2z = -2 multiplicada por 4

(4x−2y+3z)+4(−x+y−2z)=8+4(−2)(4x - 2y + 3z) + 4(-x + y - 2z) = 8 + 4(-2)
2y−5z=02y - 5z = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o termo independente: 4 · (-2) = -8, e não -2.

Passo 3 — Eliminar y entre as duas novas equações

Temos duas equações com y e z. Para achar z, precisamos eliminar o y de uma delas. Vamos combinar as duas de forma que o y suma.

Por que esta fórmula: Multiplicamos a equação 2y - 5z = 0 por 5 e somamos com -10y + 13z = -24: os termos em y se cancelam (10y - 10y = 0), sobrando só z.

5⋅(III′)+(II′)5 \cdot (III') + (II')

De onde vem cada valor: 5⋅(III′)5 \cdot (III') = passo 2: 2y - 5z = 0 multiplicada por 5 · (II′)(II') = passo 1: -10y + 13z = -24

5(2y−5z)+(−10y+13z)=5⋅0+(−24)5(2y - 5z) + (-10y + 13z) = 5 \cdot 0 + (-24)
−12z=−24-12z = \boxed{-24}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos termos em z: -25z + 13z = -12z, e não -38z.

Passo 4 — Achar o valor de z

A equação -12z = -24 tem só z, então é só isolar. Esse é o primeiro valor que descobrimos, e ele vai ser usado para achar y.

Por que esta fórmula: Dividimos os dois lados por -12 para deixar z sozinho.

z=−24−12z = \frac{-24}{-12}

De onde vem cada valor: −24-24 = passo 3: resultado -12z = -24 · −12-12 = passo 3: coeficiente de z

z=−24−12z = \frac{-24}{-12}
z=2z = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal: -24 dividido por -12 dá +2, não -2.

Passo 5 — Achar o valor de y

Com z conhecido, voltamos a uma das equações que só têm y e z. Substituímos z = 2 e resolvemos para y.

Por que esta fórmula: Usamos a equação 2y - 5z = 0 (passo 2), que é mais simples, e substituímos z pelo valor encontrado.

2y−5⋅2=02y - 5 \cdot 2 = 0

De onde vem cada valor: 2y−5z2y - 5z = passo 2: equação 2y - 5z = 0 · 22 = passo 4: z = 2

2y−10=02y - 10 = 0
y=5y = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar o -10 para o outro lado: 2y = 10, e não 2y = -10.

Passo 6 — Multiplicar y por z

A questão não pede x, só o produto y · z. Agora que temos os dois valores, é só multiplicar.

Por que esta fórmula: O produto é a multiplicação direta dos dois números encontrados.

y⋅z=5⋅2y \cdot z = 5 \cdot 2

De onde vem cada valor: yy = passo 5: y = 5 · zz = passo 4: z = 2

y⋅z=5⋅2=10y \cdot z = 5 \cdot 2 = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem e calcular x · y ou x · z — a questão pede especificamente y · z.

Resposta: y · z = 10 — alternativa C

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