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Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2025

MatemáticaSistemas Lineares
Código
vu219089
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Itatiba
Ano
2025
Cargo
Prof ( )
Considere o sistema de equações:{x+y−2z=−82x+2y+z=24x+2y−z=5\begin{cases}x+y-2z=-8 \\ 2x+2y+z=24 \\ x+2y-z=5 \end{cases} Considerando o valor de cada uma das incógnitas, o produto entre o maior e o menor é
  1. A36.
  2. B30.
  3. C24.
  4. D18.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 24.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a O produto entre o maior (8) e o menor (3) é 24 — alternativa C..

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações do primeiro grau que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui temos três equações e três incógnitas (x, y, z); a solução é uma tripla de números que, substituída em todas as equações, torna cada uma delas uma igualdade verdadeira.

O método da substituição resolve o sistema em etapas: isola-se uma incógnita em uma equação, substitui-se essa expressão nas outras, reduzindo o número de incógnitas a cada passo, até sobrar uma equação com uma só incógnita. Depois, volta-se substituindo os valores encontrados para achar as demais. Esse método funciona sempre que o sistema tem solução única.

Esta questão pede para resolver o sistema e depois comparar os valores obtidos: identificar o maior e o menor entre x, y e z e multiplicá-los. O caminho é isolar uma incógnita, substituir, resolver e então calcular o produto.

O que a questão dá

  • x + y - 2z = -8

  • 2x + 2y + z = 24

  • x + 2y - z = 5

O que queremos: o produto entre o maior e o menor valor das incógnitas x, y e z

Passo 1 — Isolar o x na primeira equação

Para começar a reduzir o sistema, escolhemos uma equação e isolamos uma incógnita. A primeira equação tem x com coeficiente 1, o que facilita: basta passar os outros termos para o outro lado.

Por que esta fórmula: Isolar x significa deixá-lo sozinho de um lado da igualdade. Subtraímos y e somamos 2z dos dois lados.

x=−8−y+2zx = -8 - y + 2z

De onde vem cada valor: −8-8 = enunciado: termo independente da equação (I) · −y-y = enunciado: termo com y na equação (I) · 2z2z = enunciado: termo com z na equação (I)

x=−8−y+2zx = -8 - y + 2z
x=−8 −y+2zx = \boxed{-8\ - \text{y} + 2\text{z}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar os termos: lembre-se de que o que está somando passa subtraindo e vice-versa.

Passo 2 — Substituir x na segunda equação

Com x expresso em função de y e z, substituímos essa expressão na segunda equação para eliminar x e ficar com uma equação só com y e z.

Por que esta fórmula: A segunda equação é 2x + 2y + z = 24. Trocamos x por (-8 - y + 2z) e simplificamos os termos semelhantes.

2(−8−y+2z)+2y+z=242(-8 - y + 2z) + 2y + z = 24

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: coeficiente de x na equação (II) · −8−y+2z-8 - y + 2z = passo 1: expressão de x · 2y2y = enunciado: termo com y na equação (II) · zz = enunciado: termo com z na equação (II) · 2424 = enunciado: termo independente da equação (II)

2(−8−y+2z)+2y+z=242(-8 - y + 2z) + 2y + z = 24
−16+5z=24-16 + 5z = \boxed{24}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o -8 por 2, ou errar a soma dos termos com y (que se cancelam).

Passo 3 — Substituir x na terceira equação

Da mesma forma, substituímos x na terceira equação para obter outra relação entre y e z. Assim teremos duas equações com duas incógnitas.

Por que esta fórmula: A terceira equação é x + 2y - z = 5. Trocamos x pela expressão do passo 1 e simplificamos.

(−8−y+2z)+2y−z=5(-8 - y + 2z) + 2y - z = 5

De onde vem cada valor: −8−y+2z-8 - y + 2z = passo 1: expressão de x · 2y2y = enunciado: termo com y na equação (III) · −z-z = enunciado: termo com z na equação (III) · 55 = enunciado: termo independente da equação (III)

(−8−y+2z)+2y−z=5(-8 - y + 2z) + 2y - z = 5
y+z=13y + z = \boxed{13}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos termos com y e z: -y + 2y = y e 2z - z = z.

Passo 4 — Resolver o sistema com y e z

Agora temos duas equações: -16 + 5z = 24 e y + z = 13. A primeira só tem z, então resolvemos direto; depois usamos o valor de z na segunda para achar y.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, isolamos z: somamos 16 dos dois lados e dividimos por 5. Depois substituímos z na segunda equação.

z=24+165z = \frac{24 + 16}{5}

De onde vem cada valor: 2424 = passo 2: resultado -16 + 5z = 24 · 1616 = constante: somado aos dois lados para isolar z · 55 = passo 2: coeficiente de z

z=405z = \frac{40}{5}
z=8z = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 16 dos dois lados, ou errar a divisão.

Passo 5 — Achar o valor de y

Com z = 8, usamos a equação y + z = 13 para encontrar y.

Por que esta fórmula: Substituímos z por 8 e isolamos y.

y=13−zy = 13 - z

De onde vem cada valor: 1313 = passo 3: resultado y + z = 13 · zz = passo 4: z = 8

y=13−8y = 13 - 8
y=5y = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração ou usar o valor errado de z.

Passo 6 — Achar o valor de x

Com y e z conhecidos, voltamos à expressão de x do passo 1 para achar seu valor.

Por que esta fórmula: Substituímos y = 5 e z = 8 em x = -8 - y + 2z.

x=−8−y+2zx = -8 - y + 2z

De onde vem cada valor: −8-8 = passo 1: termo independente · yy = passo 5: y = 5 · 2z2z = passo 1: termo com z, com z = 8

x=−8−5+2×8x = -8 - 5 + 2 \times 8
x=3x = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a ordem das operações: primeiro multiplicar 2 por 8, depois somar e subtrair.

Passo 7 — Calcular o produto do maior pelo menor

A questão não pede os valores em si, mas o produto entre o maior e o menor deles. Com x = 3, y = 5 e z = 8, identificamos o maior (8) e o menor (3) e multiplicamos.

Por que esta fórmula: O produto é simplesmente a multiplicação dos dois números.

produto=8×3produto = 8 \times 3

De onde vem cada valor: 88 = passo 4: z = 8 (maior valor) · 33 = passo 6: x = 3 (menor valor)

produto=8×3=24produto = 8 \times 3 = \boxed{24}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar y por z (5 × 8 = 40) ou x por y (3 × 5 = 15), em vez do maior pelo menor.

Resposta: O produto entre o maior (8) e o menor (3) é 24 — alternativa C.

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