Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2025

Frações de um percurso: somando etapas sucessivas

Gabarito: letra D — a fração que separa Luís e Rodrigo ao fim da segunda etapa é $\dfrac{53}{90}$ de $x$. O caminho é calcular quanto cada um percorreu em relação ao total $x$ (somando as duas etapas, com atenção ao "do que faltava") e depois subtrair os totais percorridos — a diferença entre eles é a distância que os separa.

A ideia por trás

O problema trabalha com frações de uma quantidade desconhecida $x$. A chave está na expressão "do que faltava": quando alguém percorre uma fração do que falta, essa fração incide sobre o restante do percurso, não sobre o total. Por isso, o primeiro passo é sempre descobrir quanto falta após a primeira etapa e, só então, aplicar a fração da segunda etapa sobre esse restante.

Vamos calcular etapa por etapa, para cada ciclista, sempre em relação ao total $x$.

Luís:

1. Primeira etapa: percorreu $\dfrac{1}{6}$ de $x$. Logo, faltava $x - \dfrac{1}{6}x = \dfrac{5}{6}x$.

2. Segunda etapa: percorreu $\dfrac{2}{15}$ do que faltava, ou seja, $\dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{5}{6}x = \dfrac{10}{90}x = \dfrac{1}{9}x$.

Total percorrido por Luís: $\dfrac{1}{6}x + \dfrac{1}{9}x = \dfrac{3}{18}x + \dfrac{2}{18}x = \dfrac{5}{18}x$.

Rodrigo:

1. Primeira etapa: percorreu $\dfrac{1}{5}$ de $x$. Logo, faltava $x - \dfrac{1}{5}x = \dfrac{4}{5}x$.

2. Segunda etapa: percorreu $\dfrac{5}{6}$ do que faltava, ou seja, $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{5}x = \dfrac{20}{30}x = \dfrac{2}{3}x$.

Total percorrido por Rodrigo: $\dfrac{1}{5}x + \dfrac{2}{3}x = \dfrac{3}{15}x + \dfrac{10}{15}x = \dfrac{13}{15}x$.

Agora, a diferença entre o que cada um percorreu é a distância que os separa:

Portanto, a fração de $x$ que os separava era $\dfrac{53}{90}$.

A pegadinha clássica

A banca não quer que você some as frações diretamente. O erro mais comum é calcular $\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{15}$ e $\dfrac{1}{5} + \dfrac{5}{6}$ como se as frações da segunda etapa incidissem sobre o total $x$, e não sobre o que faltava. Quem cai nessa armadilha encontra valores diferentes e acaba marcando uma alternativa errada.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\dfrac{2}{3}$ é o total percorrido por Rodrigo na segunda etapa ($\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{5}x$), não a diferença entre os dois. Quem marca esta letra provavelmente calculou apenas a segunda etapa de Rodrigo e a confundiu com a distância que os separa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\dfrac{19}{18}$ é um valor maior que 1, o que é impossível para uma fração de $x$ que representa uma distância entre dois pontos do percurso (a diferença máxima seria $x$, se um não tivesse saído do lugar). Esse número provavelmente surge de uma soma incorreta das frações, como $\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{15} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{5}{6}$, sem considerar que as segundas etapas incidem sobre o que faltava.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\dfrac{26}{45}$ é o resultado de uma soma direta e equivocada: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{15} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{30} + \dfrac{4}{30} + \dfrac{6}{30} + \dfrac{25}{30} = \dfrac{40}{30} = \dfrac{4}{3}$, que não corresponde a nenhum valor do problema. Outra possibilidade é o aluno ter calculado $\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{3}{10}$ para Luís e $\dfrac{1}{5} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{31}{30}$ para Rodrigo, e depois subtraído de forma incorreta. O valor $\dfrac{26}{45}$ não tem correspondência direta com os cálculos corretos.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, Luís percorreu $\dfrac{5}{18}x$ e Rodrigo $\dfrac{13}{15}x$. A diferença é:

A fração de $x$ que os separava ao fim da segunda etapa é exatamente $\dfrac{53}{90}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\dfrac{19}{45}$ é o resultado de subtrair as frações da primeira etapa ($\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{30}$) e somar com algo, ou de um erro de cálculo na diferença final. Se o aluno calcular $\dfrac{13}{15} - \dfrac{5}{18}$ e errar o MMC (usando 45 em vez de 90), pode chegar a $\dfrac{39}{45} - \dfrac{12,5}{45}$, o que não é um número inteiro de frações. O valor $\dfrac{19}{45}$ não corresponde a nenhuma etapa isolada nem à diferença correta.

Gabarito: letra D