Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 8 mulheres — alternativa D.

A ideia por trás

Uma razão é uma comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão. Quando dizemos que a razão entre homens e mulheres é 8/3, significa que, para cada 8 homens, há 3 mulheres. Essa comparação nos permite dividir o total em partes proporcionais: se o total é 132 e as partes são 8 e 3, cada parte vale 132 dividido pela soma (8+3=11), ou seja, 12. Assim, homens = 8 × 12 = 96 e mulheres = 3 × 12 = 36.

A razão entre duas quantidades é uma fração: homens/mulheres = 8/3. Quando uma quantidade aumenta e a outra diminui na mesma medida, o total permanece constante. A nova razão deve ser 2, ou seja, homens/mulheres = 2/1. Isso significa que, após a mudança, o número de homens deve ser o dobro do número de mulheres.

Esta questão cobra a aplicação de razão e proporção em duas etapas: primeiro, encontrar as quantidades iniciais a partir da razão e do total; segundo, montar uma equação com a nova razão, considerando que a dispensa de homens e a contratação de mulheres alteram as quantidades de forma simultânea.

O que a questão dá

• total de funcionários = 132

• razão inicial homens/mulheres = 8/3

• nova razão homens/mulheres = 2

O que queremos: o número de mulheres contratadas

Passo 1 — Descobrir quantos homens e mulheres há no início

Precisamos saber as quantidades iniciais para depois calcular a mudança. A razão 8/3 nos diz que, para cada 8 homens, há 3 mulheres. Somando as partes (8+3=11), temos 11 partes no total. Como o total é 132, cada parte vale 132 ÷ 11 = 12.

Por que esta fórmula: A divisão em partes proporcionais: se a razão é a/b, então cada parte é total ÷ (a+b). Aqui, a=8, b=3.

De onde vem cada valor: $total$ = enunciado: 132 · $a$ = enunciado: 8 (homens) · $b$ = enunciado: 3 (mulheres)

Passo 2 — Calcular o número inicial de homens e mulheres

Com o valor de cada parte, multiplicamos pela razão para obter as quantidades iniciais. Isso é necessário para montar a equação da nova razão.

Por que esta fórmula: Se cada parte vale 12, então homens = 8 × 12 e mulheres = 3 × 12.

De onde vem cada valor: $8$ = enunciado: razão homens = 8 · $3$ = enunciado: razão mulheres = 3 · $parte$ = passo 1: 12

Passo 3 — Montar a equação com a nova razão

O dono dispensa x homens e contrata x mulheres. Assim, o número de homens passa a ser 96 − x e o de mulheres, 36 + x. A nova razão deve ser 2, ou seja, homens/mulheres = 2/1. Precisamos montar essa equação para achar x.

Por que esta fórmula: A razão é uma fração: (novos homens) / (novas mulheres) = 2. Substituímos as expressões.

De onde vem cada valor: $96$ = passo 2: homens iniciais · $36$ = passo 2: mulheres iniciais · $x$ = definição: número de mulheres contratadas (e homens dispensados)

Passo 4 — Resolver a equação para achar x

A equação do passo anterior é uma igualdade de frações. Para resolvê-la, multiplicamos em cruz e isolamos x.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada: se a/b = c, então a = b × c. Aqui, 96 − x = 2 × (36 + x).

De onde vem cada valor: $96$ = passo 2 · $x$ = definição: número de mulheres contratadas (e homens dispensados) · $36$ = passo 2 · $2$ = enunciado: nova razão homens/mulheres = 2

Passo 5 — Isolar x e obter o número de mulheres contratadas

Com a equação simplificada, juntamos os termos com x de um lado e os números do outro para encontrar o valor de x.

Por que esta fórmula: Isolamento algébrico: somar x dos dois lados e subtrair 72 dos dois lados.

De onde vem cada valor: $96$ = passo 4 · $72$ = passo 4 · $2x$ = passo 4 · $x$ = passo 4

Resposta: 8 mulheres — alternativa D