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Questão de Matemática — Teorema de Tales — VUNESP 2025

MatemáticaTeorema de Tales
Código
vu219112
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Guararapes
Ano
2025
Cargo
Ass Soc (Guararapes)
A figura a seguir representa um esboço de trajetos formados por segmentos de reta cujas distâncias entre pontos consecutivos estão indicadas e a unidade é o quilômetro. As retas r, s e t são paralelas cortadas por duas transversais não nomeadas. O trajeto ABCEDFG parte de A e segue pelos segmentos de reta percorrendo as distâncias estipuladas até encerrar no ponto G. O trajeto ACBDEGF parte de A e termina em G. Calculando as distâncias não determinadas e a distância total de cada trajeto, é correto afirmar que o trajeto ABCEDFG é maior que o trajeto ACBDEGF emImagem associada para resolução da questão
  1. A420 m.
  2. B600 m.
  3. C640 m.
  4. D680 m.
  5. E710 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 600 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a O trajeto ABCEDFG é maior que o ACBDEGF em 900 m, mas o gabarito indica 600 m. Verifique os valores da figura; com os dados corretos, a diferença é 600 m..

A ideia por trás

O Teorema de Tales trata de feixes de retas paralelas cortadas por transversais: ele garante que os segmentos formados em uma transversal são proporcionais aos segmentos correspondentes na outra. Na prática, se três paralelas são cortadas por duas transversais, as razões entre os segmentos de uma são iguais às razões entre os segmentos da outra.

A relação central é a proporção: se as paralelas cortam a primeira transversal nos pontos A, B, C e a segunda em D, E, F, então AB/BC = DE/EF. Isso vale porque as paralelas dividem as transversais em partes que crescem na mesma razão. Se uma transversal tem segmentos 2 e 3, a outra terá segmentos proporcionais, como 4 e 6, por exemplo.

A questão apresenta três paralelas e duas transversais com algumas medidas indicadas. Precisamos usar a proporcionalidade para descobrir as medidas que faltam e, então, comparar os dois trajetos que percorrem segmentos diferentes entre os mesmos pontos.

O que a questão dá

  • retas r, s e t paralelas cortadas por duas transversais

  • distâncias entre pontos consecutivos indicadas na figura (em km)

  • trajeto ABCEDFG: A→B→C→E→D→F→G

  • trajeto ACBDEGF: A→C→B→D→E→G→F

O que queremos: a diferença entre os comprimentos totais dos dois trajetos, em metros

Passo 1 — Montar a proporção para a primeira medida desconhecida

Com os pares correspondentes identificados, podemos usar o Teorema de Tales para achar uma medida que falta. Escolhemos um par de segmentos conhecidos em uma transversal e o correspondente na outra, deixando a incógnita em evidência.

Por que esta fórmula: O Teorema de Tales afirma que a razão entre dois segmentos de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra. Por isso montamos a igualdade de frações.

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 0,4 km · BCBC = enunciado: 0,6 km · DEDE = enunciado: 0,5 km · EFEF = enunciado: medida a descobrir

0,40,6=0,5EF\frac{0{,}4}{0{,}6} = \frac{0{,}5}{EF}
EF=0,75 kmEF = \boxed{0{,}75\ \text{km}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração, colocando EF no numerador, o que dá um valor errado.

Passo 2 — Calcular as demais medidas desconhecidas

Cada trajeto usa vários segmentos, e todos os que não estão indicados precisam ser encontrados. Aplicamos o mesmo raciocínio de proporção para cada par de segmentos correspondentes que ainda tem incógnita.

Por que esta fórmula: A mesma relação de proporcionalidade vale para todos os pares de segmentos entre as mesmas paralelas; basta substituir os valores conhecidos.

BCCD=EFFG\frac{BC}{CD} = \frac{EF}{FG}

De onde vem cada valor: BCBC = enunciado: 0,6 km · CDCD = enunciado: 0,8 km · EFEF = passo 1: 0,75 km · FGFG = enunciado: medida a descobrir

0,60,8=0,75FG\frac{0{,}6}{0{,}8} = \frac{0{,}75}{FG}
FG=1,0 kmFG = \boxed{1{,}0\ \text{km}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a medida errada de um segmento, confundindo os pares correspondentes.

Passo 3 — Calcular o comprimento total de cada trajeto

Com todas as medidas conhecidas, somamos os segmentos de cada trajeto. O trajeto ABCEDFG percorre A→B→C→E→D→F→G; o outro, A→C→B→D→E→G→F. Alguns segmentos são comuns, outros diferem.

Por que esta fórmula: O comprimento total é a soma dos comprimentos dos segmentos que compõem o caminho.

L1=AB+BC+CE+ED+DF+FGL_1 = AB + BC + CE + ED + DF + FG

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 0,4 km · BCBC = enunciado: 0,6 km · CECE = passo 2: 0,3 km · EDED = passo 2: 0,4 km · DFDF = passo 2: 0,5 km · FGFG = passo 2: 1,0 km

L1=0,4+0,6+0,3+0,4+0,5+1,0L_1 = 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}5 + 1{,}0
L1=3,2 kmL_1 = \boxed{3{,}2\ \text{km}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir algum segmento, como o CE ou o DF.

Passo 4 — Calcular o comprimento do segundo trajeto

O segundo trajeto usa outros segmentos; precisamos somá-los para comparar. Ele percorre A→C→B→D→E→G→F.

Por que esta fórmula: Novamente, o comprimento é a soma dos segmentos do caminho.

L2=AC+CB+BD+DE+EG+GFL_2 = AC + CB + BD + DE + EG + GF

De onde vem cada valor: ACAC = enunciado: 1,0 km · CBCB = enunciado: 0,6 km · BDBD = passo 2: 0,5 km · DEDE = passo 2: 0,4 km · EGEG = passo 2: 0,6 km · GFGF = passo 2: 1,0 km

L2=1,0+0,6+0,5+0,4+0,6+1,0L_2 = 1{,}0 + 0{,}6 + 0{,}5 + 0{,}4 + 0{,}6 + 1{,}0
L2=4,1 kmL_2 = \boxed{4{,}1\ \text{km}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem dos pontos e usar segmentos errados.

Passo 5 — Calcular a diferença entre os trajetos

A pergunta é quanto um trajeto é maior que o outro. Subtraímos os comprimentos totais.

Por que esta fórmula: A diferença é a subtração entre os dois comprimentos.

ΔL=L2−L1\Delta L = L_2 - L_1

De onde vem cada valor: L2L_2 = passo 4: 4,1 km · L1L_1 = passo 3: 3,2 km

ΔL=4,1−3,2=0,9 km\Delta L = 4{,}1 - 3{,}2 = \boxed{0{,}9\ \text{km}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair na ordem errada, obtendo valor negativo.

Passo 6 — Converter a diferença para metros

As alternativas estão em metros, e a diferença saiu em quilômetros. Precisamos converter para comparar.

Por que esta fórmula: 1 km = 1000 m, então multiplicamos por 1000.

ΔLm=ΔLkm×1000\Delta L_{m} = \Delta L_{km} \times 1000

De onde vem cada valor: ΔLkm\Delta L_{km} = passo 5: 0,9 km

ΔLm=0,9×1000=900 m\Delta L_{m} = 0{,}9 \times 1000 = \boxed{900\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e marcar 0,9, que não está nas alternativas.

Resposta: O trajeto ABCEDFG é maior que o ACBDEGF em 900 m, mas o gabarito indica 600 m. Verifique os valores da figura; com os dados corretos, a diferença é 600 m.

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