Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2025

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
vu219131
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - ASA III ( )
Uma central de telemarketing funciona em dois turnos, diurno e noturno. Cada funcionário dessa central tem sempre uma única função, que pode ser de atendimento técnico (AT) ou de atendimento geral (AG), trabalha em um único período e faz parte de uma única equipe, que pode ser padrão ou avançada. Cada equipe padrão é composta por 10 funcionários de AT e 10 funcionários de AG e, cada equipe avançada, é composta por 30 funcionários de AT e 16 funcionários de AG. No período noturno, trabalham 20 equipes padrão e 5 equipes avançadas. Nessa central, a razão entre o número de funcionários de AG e o número de funcionários de AT é igual a 710\dfrac {7} {10} e, considerando apenas os funcionários do período diurno, essa razão é igual a 23\dfrac {2} {3}.   O número total de funcionários dessa central é
  1. A2.040.
  2. B2.380.
  3. C2.975.
  4. D3.570.
  5. E4.165.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 2.380.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 2.380 funcionários — alternativa B.

A ideia por trás

Razão é a comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão: dizer que a razão entre AG e AT é 7/10 significa que, para cada 10 funcionários de AT, existem 7 de AG. Proporção é a igualdade entre duas razões, e a propriedade fundamental diz que, se a/b = c/d, então a·d = b·c — é isso que permite transformar uma frase em equação.

Quando o problema dá uma razão entre duas quantidades, você pode escrever uma equação: AG/AT = 7/10. Se conhece uma das quantidades, descobre a outra; se não conhece nenhuma, usa a razão para montar um sistema com outras informações. A ordem importa: o primeiro termo citado vai no numerador.

Aqui temos duas razões (geral e diurna) e a composição das equipes do noturno. O caminho é calcular os funcionários do noturno, montar um sistema com as duas razões para achar os do diurno e somar tudo.

O que a questão dá

  • equipe padrão: 10 AT e 10 AG

  • equipe avançada: 30 AT e 16 AG

  • noturno: 20 equipes padrão e 5 avançadas

  • razão geral AG/AT = 7/10

  • razão no diurno AG/AT = 2/3

O que queremos: o número total de funcionários da central

Passo 1 — Calcular funcionários do noturno

O noturno é o único período cuja composição é totalmente conhecida: 20 equipes padrão e 5 avançadas. Antes de montar qualquer equação com as razões, precisamos saber quantos AT e AG existem nesse período, porque eles entram nos totais gerais.

Por que esta fórmula: Cada equipe padrão tem 10 AT e 10 AG; cada avançada tem 30 AT e 16 AG. Multiplicando pela quantidade de equipes e somando, obtemos o total de cada função no noturno.

ATnot=20×10+5×30AT_{not} = 20 \times 10 + 5 \times 30

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: 20 equipes padrão · 1010 = enunciado: equipe padrão tem 10 AT · 55 = enunciado: 5 equipes avançadas · 3030 = enunciado: equipe avançada tem 30 AT

ATnot=20×10+5×30=200+150=350 ATnonoturnoAT_{not} = 20 \times 10 + 5 \times 30 = 200 + 150 = \boxed{350\ \text{AT} \text{no} \text{noturno}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os números da equipe avançada (usar 16 AT e 30 AG) — inverte tudo.

Passo 2 — Calcular AG do noturno

Precisamos do mesmo levantamento para AG, porque as razões do enunciado comparam AG com AT. Sem esse número, não há como montar a equação da razão geral.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo anterior, agora com os valores de AG de cada equipe.

AGnot=20×10+5×16AG_{not} = 20 \times 10 + 5 \times 16

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: 20 equipes padrão · 1010 = enunciado: equipe padrão tem 10 AG · 55 = enunciado: 5 equipes avançadas · 1616 = enunciado: equipe avançada tem 16 AG

AGnot=20×10+5×16=200+80=280 AGnonoturnoAG_{not} = 20 \times 10 + 5 \times 16 = 200 + 80 = \boxed{280\ \text{AG} \text{no} \text{noturno}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o 16 por 5 e somar só 16.

Passo 3 — Montar equação da razão geral

A razão geral AG/AT = 7/10 vale para a central inteira, que é a soma do noturno (já conhecido) com o diurno (desconhecido). Chamando de AT_d e AG_d os funcionários do diurno, escrevemos essa razão como uma equação.

Por que esta fórmula: A razão é uma divisão: AG total dividido por AT total. Substituímos os totais pelas somas do noturno com o diurno.

280+AGd350+ATd=710\frac{280 + AG_d}{350 + AT_d} = \frac{7}{10}

De onde vem cada valor: 280280 = passo 2: AG noturno · AGdAG_d = definição: AG do diurno (incógnita) · 350350 = passo 1: AT noturno · ATdAT_d = definição: AT do diurno (incógnita) · 7/107/10 = enunciado: razão geral

280+AGd350+ATd=710\frac{280 + AG_d}{350 + AT_d} = \frac{7}{10}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, escrevendo AT/AG = 7/10 — isso leva a um sistema errado.

Passo 4 — Montar equação da razão no diurno

Temos duas incógnitas (AT_d e AG_d) e só uma equação; precisamos de outra relação. A razão no diurno fornece exatamente isso.

Por que esta fórmula: A razão AG/AT no diurno é 2/3, então AG_d/AT_d = 2/3. Isolamos AG_d para substituir na equação anterior.

AGd=23ATdAG_d = \frac{2}{3} AT_d

De onde vem cada valor: 2/32/3 = enunciado: razão no diurno · ATdAT_d = definição: AT do diurno (incógnita)

AGd=23ATdAG_d = \frac{2}{3} AT_d
NÃO CAIA NESSA!

Escrever AT_d = (2/3) AG_d — inverte a razão.

Passo 5 — Substituir e resolver para AT do diurno

Com AG_d expresso em função de AT_d, a equação da razão geral fica com uma única incógnita. Multiplicar cruzado elimina as frações e permite isolar AT_d.

Por que esta fórmula: A propriedade fundamental das proporções: se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aplicamos isso para transformar a igualdade de frações em uma equação linear.

10×(280+23ATd)=7×(350+ATd)10 \times (280 + \frac{2}{3}AT_d) = 7 \times (350 + AT_d)

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: denominador da razão geral (7/10) · 280280 = passo 2: AG noturno · 2/32/3 = passo 4: razão diurna · ATdAT_d = definição: AT do diurno (incógnita) · 77 = enunciado: numerador da razão geral · 350350 = passo 1: AT noturno

10×(280+23ATd)=7×(350+ATd)10 \times (280 + \frac{2}{3}AT_d) = 7 \times (350 + AT_d)
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: esquecer de multiplicar o 280 pelo 10, ou o 350 pelo 7.

Passo 6 — Isolar AT do diurno

A equação do passo anterior ainda tem AT_d dos dois lados. Precisamos juntar os termos com AT_d de um lado e os números do outro para achar seu valor.

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: distribuir, subtrair termos semelhantes e dividir pelo coeficiente.

2800+203ATd=2450+7ATd2800 + \frac{20}{3}AT_d = 2450 + 7AT_d

De onde vem cada valor: 28002800 = passo 5: 10 × 280 · 20/320/3 = passo 5: 10 × (2/3) · 24502450 = passo 5: 7 × 350 · 77 = passo 5: coeficiente de AT_d

2800+203ATd=2450+7ATd2800 + \frac{20}{3}AT_d = 2450 + 7AT_d
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair 2800 de 2450 no lado errado, invertendo o sinal.

Passo 7 — Calcular AT do diurno

Agora é só resolver a equação linear: passar os termos com AT_d para um lado e os números para o outro, depois dividir.

Por que esta fórmula: Subtraindo 2450 e (20/3)AT_d dos dois lados, isolamos AT_d.

350=ATd3350 = \frac{AT_d}{3}

De onde vem cada valor: 350350 = passo 6: 2800 - 2450 · ATdAT_d = definição: AT do diurno (incógnita) · 33 = passo 6: 7 - 20/3 = 1/3

350=ATd3350 = \frac{AT_d}{3}
ATd=1050AT_d = \boxed{1050}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar em vez de dividir: achar AT_d = 350/3.

Passo 8 — Calcular AG do diurno e total

Com AT_d conhecido, usamos a razão diurna para achar AG_d e então somamos tudo: noturno + diurno.

Por que esta fórmula: AG_d = (2/3)AT_d, e o total é a soma de AT e AG dos dois períodos.

AGd=23×1050AG_d = \frac{2}{3} \times 1050

De onde vem cada valor: 2/32/3 = passo 4: razão diurna · 10501050 = passo 7: AT do diurno

AGd=23×1050=700AG_d = \frac{2}{3} \times 1050 = 700

AG_d = 700; total = 350 + 280 + 1050 + 700 = 2380

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o noturno (630) e responder só o diurno (1750).

Resposta: 2.380 funcionários — alternativa B

Link permanente: /questoes/vu219131