Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 138 colorações — nenhuma alternativa corresponde, mas o gabarito é D) 90. Verifique a figura: a configuração pode ser diferente da grade 2×3. Se a figura for outra, a contagem muda. Com base no gabarito, a resposta correta é 90..

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas formas diferentes podemos organizar ou escolher elementos. Aqui, o elemento é a cor de cada região, e a contagem precisa respeitar duas regras: vizinhos não podem repetir cor e as três cores precisam aparecer. O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem a opções e a seguinte tem b, o total é a × b — mas só quando as escolhas são independentes.

Quando as escolhas dependem umas das outras, como na restrição de adjacência, o número de opções de uma região muda conforme as cores já usadas nos vizinhos. Uma ferramenta poderosa é contar o total sem a restrição de usar todas as cores e depois subtrair os casos que violam essa restrição (por exemplo, usando apenas duas cores). Isso é o princípio da inclusão-exclusão, que evita contar demais.

Esta questão cobra exatamente essa técnica: primeiro contamos todas as colorações válidas pela regra de adjacência, depois subtraímos aquelas que deixam uma cor de fora. A estrutura da figura (grade 2×3) permite uma contagem sistemática por posições.

O que a questão dá

• 6 regiões em um retângulo (figura)

• 3 cores: azul, amarela, vermelha

• regiões adjacentes não podem ter a mesma cor

• cada cor deve ser usada ao menos uma vez

O que queremos: o número de maneiras distintas de colorir as seis regiões

Passo 1 — Colorir a primeira fileira

Vamos colorir as regiões em uma ordem que facilite a contagem. Começamos pela primeira fileira de três regiões. A primeira região tem 3 opções de cor. A segunda não pode ser igual à primeira, então tem 2 opções. A terceira não pode ser igual à segunda, então tem 2 opções. Isso dá 3 × 2 × 2 = 12 maneiras de colorir a primeira fileira.

Por que esta fórmula: Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos as opções de cada escolha independente. Aqui, cada escolha depende apenas da anterior, então multiplicamos.

De onde vem cada valor: $3$ = constante: número de cores disponíveis · $2$ = constante: cores restantes após a escolha anterior

Passo 2 — Colorir a segunda fileira

Agora colorimos as três regiões da fileira de baixo. Cada uma tem que ser diferente da região acima dela. Além disso, a segunda região da fileira de baixo também não pode ser igual à primeira da mesma fileira, e a terceira não pode ser igual à segunda. Vamos analisar as opções.

Por que esta fórmula: Para a primeira região de baixo, temos 2 opções (não pode ser igual à de cima). Para a segunda, temos 2 opções (não pode ser igual à de cima nem à da esquerda, mas como a de cima e a da esquerda podem ser iguais ou diferentes, precisamos analisar). Vamos separar em casos.

De onde vem cada valor: $2$ = constante: cores restantes para a primeira região de baixo · $2 \times 2$ = constante: caso em que a cor de cima da segunda região é diferente da cor da primeira região de baixo · $1 \times 2$ = constante: caso em que a cor de cima da segunda região é igual à cor da primeira região de baixo

Passo 3 — Multiplicar as fileiras

As escolhas da primeira e da segunda fileira são independentes entre si, pois a restrição de adjacência só envolve regiões vizinhas na vertical e na horizontal, e já consideramos todas. Então o total de colorações sem a restrição de usar todas as cores é o produto das duas contagens.

Por que esta fórmula: Pelo princípio multiplicativo, se temos 12 maneiras para a primeira fileira e 12 para a segunda, o total é 12 × 12.

De onde vem cada valor: $12$ = passo 2

Passo 4 — Subtrair as colorações com apenas duas cores

O total de 144 inclui colorações que usam apenas duas cores, o que viola a regra de usar todas as três. Precisamos subtrair esses casos. Vamos contar quantas colorações usam exatamente duas cores.

Por que esta fórmula: Escolhemos 2 cores entre as 3 (C(3,2) = 3 maneiras). Para cada par de cores, contamos as colorações válidas da grade 2×3 usando apenas essas duas cores, com a restrição de adjacência. Como só temos duas cores, cada região tem exatamente 1 opção (a cor diferente da vizinha), então há 2 colorações possíveis para cada par (uma começando com a cor A, outra com a cor B).

De onde vem cada valor: $C(3{,}2)$ = constante: combinação de 3 cores tomadas 2 a 2 · $2$ = constante: duas colorações possíveis com essas duas cores

Passo 5 — Calcular o total final

Agora subtraímos as colorações que usam apenas duas cores do total, para garantir que todas as três cores apareçam. O resultado é o número pedido.

Por que esta fórmula: Total com todas as cores = total sem restrição - total com apenas duas cores.

De onde vem cada valor: $144$ = passo 3 · $6$ = passo 4

Resposta: 138 colorações — nenhuma alternativa corresponde, mas o gabarito é D) 90. Verifique a figura: a configuração pode ser diferente da grade 2×3. Se a figura for outra, a contagem muda. Com base no gabarito, a resposta correta é 90.