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Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2025

MatemáticaCálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo
Código
vu219146
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Doc ( )

A figura a seguir, conhecida como Triângulo de Potências, representa a relação entre as potências aparente (S), ativa (P) e reativa (Q), em sistemas trifásicos:

 

Imagem associada para resolução da questão

(Arquivo pessoal; imagem usada com autorização)

 

Sabendo-se que a relação entre as potências identificadas é modelada por um triângulo retângulo, em um sistema trifásico em que a potência reativa corresponde à metade da potência aparente, o ângulo formado entre os vetores das potências aparente e reativa deve ter medida igual a:

  1. A15°
  2. B30°
  3. C45°
  4. D60°
  5. E75°
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 60°

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Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 60° — alternativa D.

A ideia por trás

No triângulo de potências, as três potências de um circuito de corrente alternada são representadas como lados de um triângulo retângulo: a potência aparente S é a hipotenusa, a potência ativa P é um cateto e a potência reativa Q é o outro cateto, perpendicular a P. Os ângulos agudos desse triângulo são complementares, ou seja, somam 90°.

As razões trigonométricas ligam os lados aos ângulos: seno de um ângulo é o cateto oposto dividido pela hipotenusa, cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa e tangente é o cateto oposto dividido pelo adjacente. Se um ângulo é φ, o outro é 90° − φ, e o seno de um é o cosseno do outro.

A questão dá a relação entre Q e S, que são respectivamente cateto e hipotenusa. Isso permite achar o ângulo entre S e P (cujo seno é Q/S) e depois subtrair de 90° para obter o ângulo entre S e Q.

O que a questão dá

  • potência reativa Q = metade da potência aparente S

  • triângulo retângulo formado por S, P e Q

O que queremos: o ângulo entre os vetores das potências aparente e reativa

Passo 1 — Montar a razão entre Q e S

O enunciado diz que Q é metade de S, então Q/S = 1/2. Essa razão é exatamente o seno do ângulo entre S e P, porque Q é o cateto oposto a esse ângulo e S é a hipotenusa.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, seno de um ângulo é definido como cateto oposto sobre hipotenusa. Aqui, o ângulo entre S e P tem Q como cateto oposto.

sin⁡ϕ=QS\sin \phi = \frac{Q}{S}

De onde vem cada valor: QQ = enunciado: Q = S/2 · SS = enunciado: potência aparente

sin⁡ϕ=12\sin \phi = \frac{1}{2}
ϕ=30 ∘\phi = \boxed{30\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o ângulo: φ é o ângulo entre S e P, não entre S e Q.

Passo 2 — Achar o ângulo entre S e Q

O ângulo pedido é entre S e Q, que é o outro ângulo agudo do triângulo. Como os dois ângulos agudos somam 90°, basta subtrair φ de 90°.

Por que esta fórmula: Em qualquer triângulo retângulo, os ângulos agudos são complementares.

α=90∘−ϕ\alpha = 90^\circ - \phi

De onde vem cada valor: ϕ\phi = passo 1: 30° · 90∘90^\circ = constante: soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo

α=90∘−30∘=60 ∘\alpha = 90^\circ - 30^\circ = \boxed{60\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar 30° diretamente, esquecendo que o ângulo pedido é o complementar.

Resposta: 60° — alternativa D

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