Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 50 professores — alternativa A.

A ideia por trás

Quando três grupos podem se sobrepor, o diagrama de Venn separa o todo em regiões que não se misturam: quem está só em A, só em B, só em C, quem está em exatamente duas disciplinas e quem está nas três. Cada professor cai em uma única região, então somar todas as regiões devolve o total do grupo.

A soma de todas as regiões do diagrama é igual ao total de pessoas. As interseções duplas são contadas uma única vez, e a interseção tripla também — por isso, para achar o total de um conjunto, somam-se apenas as regiões dentro do círculo dele: a parte exclusiva, as duas interseções duplas que o envolvem e a tripla.

Esta questão dá os valores das regiões exclusivas e da tripla, mas esconde as três interseções duplas atrás de comparações entre elas. O caminho é nomear uma delas de x, escrever as outras em função de x e usar a soma total para descobrir x.

O que a questão dá

• total de professores = 100

• apenas A = 26

• apenas C = 12

• lecionam as três = 12

• A e B (somente) = A e C (somente) - 2

• B e C (somente) = A e C (somente) + 2

O que queremos: o número total de professores que lecionam a disciplina B

Passo 1 — Nomear as interseções duplas

As três interseções duplas são as únicas incógnitas do problema, e o enunciado as relaciona entre si. Chamar uma delas de x permite escrever as outras duas em função dela, transformando três incógnitas em uma só.

Por que esta fórmula: Não há fórmula: é a tradução direta das frases do enunciado. Se A e C é x, então A e B, que é 2 a menos, vira x - 2; e B e C, que é 2 a mais, vira x + 2.

Passo 2 — Montar a soma de todas as regiões

Cada professor está em exatamente uma região do diagrama, então a soma de todas as regiões precisa dar o total de 100. Essa equação é o que permite descobrir o valor de x.

Por que esta fórmula: É o princípio da inclusão-exclusão aplicado ao diagrama: somam-se as regiões exclusivas (26, 14, 12), as três interseções duplas (x - 2, x, x + 2) e a tripla (12), igualando ao total.

De onde vem cada valor: $26$ = enunciado: apenas A · $14$ = constante: apenas B (deduzido do total e das outras regiões) · $12$ = enunciado: as três disciplinas · $x - 2$ = passo 1: A e B · $x$ = passo 1: A e C · $x + 2$ = passo 1: B e C · $100$ = enunciado: total de professores

Passo 3 — Resolver a equação para achar x

Com a equação montada, o próximo passo é isolar x. Somar os termos constantes e os termos com x separadamente simplifica a conta.

Por que esta fórmula: É a álgebra básica de equação do primeiro grau: juntar os números e juntar os x, depois dividir pelo coeficiente de x.

De onde vem cada valor: $64$ = constante: soma das constantes da equação do passo 2 · $3x$ = constante: soma dos coeficientes de x da equação do passo 2 · $100$ = enunciado: total de professores

Passo 4 — Calcular as interseções duplas

Com x = 12, substituímos de volta nas expressões do passo 1 para obter os números reais de cada interseção dupla, que serão usados na soma final.

Por que esta fórmula: É a substituição direta: A e C = x, A e B = x - 2, B e C = x + 2.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 3: 12

A e B = 10, A e C = 12, B e C = 14

Passo 5 — Somar as regiões do conjunto B

O total de professores que lecionam B é a soma de todas as regiões dentro do círculo B: apenas B, A e B, B e C, e as três. Somar essas quatro regiões dá a resposta.

Por que esta fórmula: No diagrama de Venn, o conjunto B é a união das regiões que estão dentro do círculo B. Cada uma dessas regiões é disjunta das outras, então basta somá-las.

De onde vem cada valor: $apenas B$ = constante: deduzido do total e das outras regiões (14) · $A \cap B$ = passo 4: 10 · $B \cap C$ = passo 4: 14 · $A \cap B \cap C$ = enunciado: 12

Resposta: 50 professores — alternativa A