Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Geometria Analítica: equação da circunferência

Gabarito: letra A — o raio é 3,2 unidades de comprimento. Completando os quadrados na equação geral $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 14{,}76 = 0$, obtemos a forma reduzida $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 10{,}24$, e como $r^2 = 10{,}24$, temos $r = \sqrt{10{,}24} = 3{,}2$.

A equação geral de uma circunferência tem a forma $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Para encontrar o centro e o raio, usamos a técnica de completar quadrados, que transforma a equação geral na forma reduzida $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2$, onde $(x_c, y_c)$ é o centro e $r$ é o raio. O nome "completar quadrados" vem do fato de que adicionamos e subtraímos termos para formar binômios quadrados perfeitos, como $(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$.

Vamos aplicar isso à equação dada. Primeiro, reagrupamos os termos em $x$ e em $y$:

$x^2 - 8x + y^2 + 6y + 14{,}76 = 0$

Para completar o quadrado em $x$: o coeficiente de $x$ é $-8$, então tomamos a metade, $-4$, e elevamos ao quadrado, $16$. Assim, $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.

Para completar o quadrado em $y$: o coeficiente de $y$ é $6$, então tomamos a metade, $3$, e elevamos ao quadrado, $9$. Assim, $y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2$.

Adicionamos e subtraímos esses valores na equação para não alterá-la:

$(x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 14{,}76 = 0$

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 - 16 - 9 + 14{,}76 = 0$

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 - 10{,}24 = 0$

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 10{,}24$

Agora, comparando com a forma reduzida $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2$, identificamos:

• Centro: $(4, -3)$

• $r^2 = 10{,}24$

• $r = \sqrt{10{,}24} = 3{,}2$

Portanto, o raio da circunferência é 3,2 unidades de comprimento, o que corresponde à alternativa A.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O raio é $\sqrt{10{,}24} = 3{,}2$. A conta fecha exatamente: completando os quadrados, chegamos a $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 10{,}24$, e a raiz quadrada de 10,24 é 3,2. É a única alternativa que corresponde ao valor correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

3,4 unidades. Esse valor seria obtido se o aluno errasse o completamento de quadrados, por exemplo, se considerasse $r^2 = 11{,}56$ (que é $3{,}4^2$). Isso aconteceria se, ao completar o quadrado em $y$, o termo adicionado fosse 8 em vez de 9, ou se houvesse um erro de sinal na soma dos termos constantes. Não há nenhuma relação direta com os coeficientes da equação original.

Alternativa C — ❌ Incorreta

3,6 unidades. Esse valor corresponderia a $r^2 = 12{,}96$. Um erro comum que levaria a isso seria calcular o termo constante como $16 + 9 - 14{,}76 = 10{,}24$ corretamente, mas depois errar a raiz quadrada, ou então errar o completamento de quadrados de forma que o termo independente ficasse 12,96. Não é o valor correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

3,8 unidades. Esse valor corresponderia a $r^2 = 14{,}44$. Poderia surgir de um erro no completamento de quadrados, como usar o coeficiente de $x$ como $-8$ e o de $y$ como $6$, mas errar a soma dos termos: $16 + 9 - 14{,}76 = 10{,}24$ está certo, mas se o aluno somasse $16 + 9 + 14{,}76 = 39{,}76$ e depois errasse a raiz, não chegaria a 3,8. Na verdade, 3,8 não tem relação com os números da equação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

4,0 unidades. Esse valor corresponderia a $r^2 = 16$. Um erro comum seria confundir o raio com a coordenada do centro: o centro é $(4, -3)$, e o aluno poderia achar que o raio é 4 (a coordenada $x$ do centro) ou 3 (a coordenada $y$). Mas o raio é a raiz quadrada do termo independente, que é 10,24, não 16.

Gabarito: letra A