Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2025

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
vu219151
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Doc ( )
Um retângulo tem comprimento 2 cm maior que sua largura e delimita uma área plana de 483 cm2. Um segmento de reta com extremidades em dois lados paralelos desse retângulo o dividirá em um quadrado e um retângulo de perímetro menor que o perímetro do retângulo original.   O perímetro do menor retângulo obtido será de
  1. A40 cm.
  2. B42 cm.
  3. C44 cm.
  4. D46 cm.
  5. E48 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 46 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 46 cm — alternativa D.

A ideia por trás

Um retângulo é uma figura de quatro lados com ângulos retos, onde os lados opostos são iguais. Sua área é o produto do comprimento pela largura, e seu perímetro é a soma de todos os lados, ou seja, duas vezes a soma das dimensões. Um quadrado é um caso especial de retângulo em que todos os lados são iguais.

Para achar as dimensões de um retângulo conhecendo a área e a relação entre os lados, montamos uma equação do segundo grau: se a largura é x e o comprimento é x + 2, então x(x + 2) = área. Resolver essa equação dá as medidas. Quando um segmento paralelo a um lado divide o retângulo em um quadrado e um retângulo, o lado do quadrado é igual à menor dimensão do retângulo original, e o retângulo menor fica com essa mesma dimensão e a diferença entre as duas dimensões originais.

Esta questão exige primeiro resolver a equação do segundo grau para descobrir as dimensões do retângulo, e depois interpretar geometricamente como o corte forma o quadrado e o retângulo menor, para então calcular o perímetro pedido.

O que a questão dá

  • comprimento = largura + 2 cm

  • área do retângulo = 483 cm²

  • segmento divide o retângulo em um quadrado e um retângulo menor

O que queremos: o perímetro do retângulo menor obtido após a divisão

Passo 1 — Montar a equação da área

Precisamos descobrir as dimensões do retângulo, e a única informação numérica é a área. Como o comprimento é a largura mais 2, podemos representar a largura por x e o comprimento por x + 2, e a área é o produto deles.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é sempre comprimento vezes largura. Aqui, comprimento = x + 2 e largura = x, então a equação é x(x + 2) = 483.

x(x+2)=483x(x + 2) = 483

De onde vem cada valor: xx = definição: largura do retângulo · x+2x + 2 = enunciado: comprimento é 2 cm maior que a largura · 483483 = enunciado: área em cm²

x⋅(x+2)=483x \cdot (x + 2) = 483
x2+2x−483=0x^{2} + 2x - 483 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de expandir o produto e tentar resolver direto, ou errar o sinal ao passar 483 para o outro lado.

Passo 2 — Resolver a equação do segundo grau

A equação x² + 2x - 483 = 0 é do segundo grau, e precisamos achar o valor de x que satisfaz. Usamos a fórmula de Bhaskara, que resolve qualquer equação desse tipo.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara é x = (-b ± √Δ) / (2a), onde Δ = b² - 4ac. Ela serve para achar as raízes de ax² + bx + c = 0. Aqui a = 1, b = 2, c = -483.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = constante: 1 (coeficiente de x²) · bb = constante: 2 (coeficiente de x) · cc = passo 1: -483 (termo independente)

x=−2±22−4⋅1⋅(−483)2⋅1x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-483)}}{2 \cdot 1}
x=21(araizpositiva)x = \boxed{21 (a raiz positiva)}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o cálculo do discriminante: 2² - 4·1·(-483) = 4 + 1932 = 1936, e √1936 = 44. Esquecer que a raiz negativa não serve para medida.

Passo 3 — Determinar as dimensões do retângulo

Com a largura x = 21 cm, o comprimento é x + 2 = 23 cm. Essas são as medidas do retângulo original, necessárias para entender a divisão.

Por que esta fórmula: Não há fórmula nova: usamos a relação do enunciado comprimento = largura + 2.

comprimento=x+2comprimento = x + 2

De onde vem cada valor: xx = passo 2: 21 cm · 22 = enunciado: comprimento é 2 cm maior que a largura

comprimento=21+2=23 cmcomprimento = 21 + 2 = \boxed{23\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar as dimensões: achar que a largura é 23 e o comprimento 21, o que não satisfaz a condição do enunciado.

Passo 4 — Descobrir as dimensões do retângulo menor

O segmento divide o retângulo em um quadrado e um retângulo. Para que uma parte seja um quadrado, o lado dele deve ser igual à menor dimensão do retângulo original, que é 21 cm. Assim, o retângulo menor terá uma dimensão de 21 cm e a outra será a diferença entre o comprimento original e o lado do quadrado.

Por que esta fórmula: A diferença entre o comprimento (23 cm) e o lado do quadrado (21 cm) dá a outra dimensão do retângulo menor: 23 - 21 = 2 cm.

dimensa~o_menor=comprimento−lado_do_quadradodimensão\_menor = comprimento - lado\_do\_quadrado

De onde vem cada valor: comprimentocomprimento = passo 3: 23 cm · lado_do_quadradolado\_do\_quadrado = passo 3: 21 cm (a largura)

dimensa~o_menor=23−21=2 cmdimensão\_menor = 23 - 21 = \boxed{2\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o quadrado tem lado 23 cm, mas isso ultrapassaria a largura de 21 cm, impossível.

Passo 5 — Calcular o perímetro do retângulo menor

Agora que sabemos as dimensões do retângulo menor (21 cm e 2 cm), podemos calcular seu perímetro, que é a soma de todos os lados.

Por que esta fórmula: O perímetro de um retângulo é 2 vezes a soma das dimensões: P = 2 × (largura + comprimento).

P=2×(21+2)P = 2 \times (21 + 2)

De onde vem cada valor: 2121 = passo 4: uma dimensão do retângulo menor · 22 = passo 4: a outra dimensão

P=2×23=46 cmP = 2 \times 23 = \boxed{46\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 e responder 23 cm, ou somar apenas os lados diferentes.

Resposta: 46 cm — alternativa D

Link permanente: /questoes/vu219151