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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219154
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Doc ( )
Em um grupo com 20 professores, sendo 8 que lecionam matemática e 12 que lecionam outas disciplinas, deseja-se escolher, aleatoriamente, um representante, um vice representante e um suplente, de modo que esses escolhidos não sejam somente de professores que lecionam matemática e, tampouco, somente de professores que lecionam outras disciplinas.   O número total de possibilidades para fazer essa escolha é igual a
  1. A2.942.
  2. B3.058.
  3. C4.916.
  4. D5.184.
  5. E6.840.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 5.184.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 5.184 comissões — alternativa D.

A ideia por trás

O princípio fundamental da contagem (PFC) é a ferramenta básica da análise combinatória: se uma escolha tem p₁ opções, a seguinte tem p₂, e assim por diante, o total de combinações é o produto p₁ × p₂ × … . Aqui, cada cargo é uma etapa independente, e como os cargos são diferentes (representante, vice, suplente), a ordem importa: escolher A para representante e B para vice é diferente de B para representante e A para vice.

Quando a ordem importa e não há repetição, usamos o PFC diretamente: para o primeiro cargo há n opções, para o segundo n−1, para o terceiro n−2, totalizando n × (n−1) × (n−2). Essa é a base do arranjo simples. A restrição de que a comissão deve ser mista (não só de matemática nem só de outras disciplinas) pode ser tratada subtraindo do total as comissões que violam a condição, pois elas são mutuamente exclusivas.

Esta questão pede o total de comissões mistas. O caminho mais seguro é calcular o total sem restrição e subtrair as comissões formadas apenas por matemáticos e apenas por outros, já que essas são as únicas que não atendem ao enunciado.

O que a questão dá

  • total de professores = 20

  • professores de matemática = 8

  • professores de outras disciplinas = 12

  • cargos: representante, vice e suplente (ordem importa)

O que queremos: o número de comissões mistas (com pelo menos um de cada área) para os três cargos

Passo 1 — Calcular o total de comissões sem restrição

Antes de aplicar qualquer restrição, precisamos saber quantas comissões de três cargos distintos podem ser formadas com os 20 professores. Como os cargos são diferentes, a ordem importa, então usamos o princípio multiplicativo: cada cargo é uma escolha independente.

Por que esta fórmula: Para o representante há 20 opções; para o vice, 19 (um já foi escolhido); para o suplente, 18. O PFC manda multiplicar.

T=20×19×18T = 20 \times 19 \times 18

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: total de professores · 1919 = constante: 20 - 1 (um professor já escolhido para representante) · 1818 = constante: 20 - 2 (dois professores já escolhidos)

T=20×19×18=6840T = 20 \times 19 \times 18 = \boxed{6840}
NÃO CAIA NESSA!

Usar combinação (C(20,3)) em vez de arranjo, esquecendo que os cargos são distintos — isso daria 1140, muito menor.

Passo 2 — Calcular comissões só de matemática

Essas comissões violam a condição de serem mistas, então precisamos contá-las para subtrair depois. Como são apenas professores de matemática, usamos os 8 disponíveis.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo 1, mas agora com 8 professores: 8 opções para representante, 7 para vice, 6 para suplente.

M=8×7×6M = 8 \times 7 \times 6

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: professores de matemática · 77 = constante: 8 - 1 (um professor já escolhido para representante) · 66 = constante: 8 - 2 (dois professores já escolhidos)

M=8×7×6=336M = 8 \times 7 \times 6 = \boxed{336}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a ordem importa e usar combinação C(8,3) = 56, o que subestima o valor.

Passo 3 — Calcular comissões só de outras disciplinas

Assim como as de matemática, essas também não são mistas. Precisamos do número delas para subtrair do total.

Por que esta fórmula: Com 12 professores de outras disciplinas, temos 12 opções para representante, 11 para vice, 10 para suplente.

O=12×11×10O = 12 \times 11 \times 10

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: professores de outras disciplinas · 1111 = constante: 12 - 1 (um professor já escolhido para representante) · 1010 = constante: 12 - 2 (dois professores já escolhidos)

O=12×11×10=1320O = 12 \times 11 \times 10 = \boxed{1320}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o total de professores (20) e usar 20×19×18 novamente.

Passo 4 — Subtrair as comissões inválidas do total

As comissões só de matemática e só de outras disciplinas são exatamente as que não podem ser formadas. Como elas não se sobrepõem (uma comissão não pode ser simultaneamente só de matemática e só de outras), podemos subtrair ambas do total.

Por que esta fórmula: O total de comissões mistas é o total geral menos as duas categorias proibidas: T − M − O.

R=T−M−OR = T - M - O

De onde vem cada valor: TT = passo 1: 6840 · MM = passo 2: 336 · OO = passo 3: 1320

R=6840−336−1320=5184R = 6840 - 336 - 1320 = \boxed{5184}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair uma das categorias, ou subtrair apenas uma vez quando há sobreposição (aqui não há).

Resposta: 5.184 comissões — alternativa D

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