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Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — VUNESP 2025

MatemáticaFunções reais de variável real (cálculo diferencial e integral)
Código
vu219156
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Doc ( )
Necessita-se fabricar latas cilíndricas, com tampa, cada uma com capacidade de 128π cm3.   A diferença entre as medidas da altura e do raio da base de cada lata para que a utilização de matéria-prima para a fabricação delas seja a menor possível é igual a
  1. A1 cm.
  2. B2 cm.
  3. C4 cm.
  4. D8 cm.
  5. E16 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 4 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 4 cm — alternativa C.

A ideia por trás

Otimização é a busca pelo melhor valor de uma grandeza — aqui, a menor quantidade de matéria-prima para fabricar uma lata. A área total do cilindro com tampa é a soma da área lateral (o corpo da lata) com as duas bases (fundo e tampa). Queremos o ponto em que essa área é mínima, respeitando o volume fixo.

A área total é A = 2πr² + 2πrh, e o volume é V = πr²h. Como o volume é fixo, podemos escrever h em função de r e substituir na área, obtendo uma função de uma variável. O mínimo dessa função é encontrado derivando e igualando a zero. A relação notável que surge é que, para volume fixo, a área é mínima quando a altura é o dobro do raio (h = 2r).

Esta questão cobra exatamente essa otimização: expressar a área em função do raio, derivar e achar o ponto de mínimo. A diferença pedida é h - r, que sai diretamente da relação h = 2r.

O que a questão dá

  • volume da lata = 128π cm³

  • formato: cilindro com tampa

O que queremos: a diferença entre a altura e o raio da base que minimiza a área total da lata

Passo 1 — Escrever a área total da lata

A matéria-prima usada é a área da superfície da lata. Como ela tem tampa, a área total é a lateral mais duas bases (fundo e tampa). Precisamos dessa expressão para depois minimizá-la.

Por que esta fórmula: A área lateral de um cilindro é o perímetro da base (2πr) vezes a altura (h), e cada base é um círculo de área πr². Como são duas bases, somamos 2πr².

A=2πr2+2πrhA = 2\pi r^{2} + 2\pi r h

De onde vem cada valor: rr = definição: raio da base (incógnita) · hh = definição: altura da lata (incógnita)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a tampa e usar apenas uma base, o que daria A = πr² + 2πrh e levaria a um resultado diferente.

Passo 2 — Expressar a altura em função do raio

A área tem duas variáveis, r e h, mas o volume fixo as relaciona. Isolando h, reduzimos o problema a uma única variável, o que permite derivar e achar o mínimo.

Por que esta fórmula: O volume é V = πr²h. Como V = 128π, substituímos e isolamos h.

h = frac128ππ r^2 = frac128r^2

De onde vem cada valor: 128π128\pi = enunciado: volume da lata · πr2\pi r^{2} = definição: área da base do cilindro

h = frac128r^2
h=128 /r2cmh = \boxed{128\ /\text{r}^{2} \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de cancelar o π, mantendo 128π no numerador e complicando a conta.

Passo 3 — Substituir h na fórmula da área

Com h em função de r, a área fica dependendo apenas de r. Essa é a função que vamos minimizar.

Por que esta fórmula: Substituímos h = 128/r² na expressão da área total do passo 1.

A(r) = 2π r^2 + 2π r · frac128r^2 = 2π r^2 + (256π)/(r)

De onde vem cada valor: 2πr22\pi r^{2} = passo 1: área das duas bases · 2πr2\pi r = passo 1: perímetro da base · frac128r^2 = passo 2: altura em função do raio

A(r)=2πr2+256πrA(r) = 2\pi r^{2} + \frac{256\pi}{r}
A(r)=2 πr2+256π/rcm2A(r) = \boxed{2\ \pi \text{r}^{2} + 256\pi /\text{r} \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a simplificação de 2πr · 128/r², que é 256π/r, e não 256π/r².

Passo 4 — Derivar a área em relação ao raio

O mínimo de uma função ocorre onde a derivada é zero. Derivando A(r), encontramos a condição para o raio ótimo.

Por que esta fórmula: A derivada de 2πr² é 4πr, e a derivada de 256π/r é -256π/r². Igualamos a zero para achar o ponto crítico.

A'(r) = 4π r - frac256πr^2 = 0

De onde vem cada valor: 4πr4\pi r = passo 3: derivada de 2πr² · frac256πr^2 = passo 3: derivada de 256π/r

4π r - frac256πr^2 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos ou errar a derivada de 1/r, que é -1/r².

Passo 5 — Resolver a equação para o raio

Com a derivada igualada a zero, isolamos r para descobrir o raio que minimiza a área.

Por que esta fórmula: Multiplicamos ambos os lados por r² e dividimos por 4π para simplificar, obtendo uma equação cúbica simples.

4π r = frac256πr^2 Rightarrow 4r^3 = 256 Rightarrow r^3 = 64 Rightarrow r = 4

De onde vem cada valor: 4πr4\pi r = passo 4: primeiro termo da derivada · frac256πr^2 = passo 4: segundo termo da derivada

4r3=2564r^{3} = 256
r=4 cmr = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz cúbica e achar r = 64, ou errar a raiz cúbica de 64.

Passo 6 — Calcular a altura correspondente

Com o raio ótimo, usamos a relação do passo 2 para achar a altura que acompanha esse raio.

Por que esta fórmula: Substituímos r = 4 na expressão h = 128/r².

h = frac128r^2

De onde vem cada valor: 128128 = passo 2: numerador da expressão de h · r2r^{2} = passo 5: raio ao quadrado, 4² = 16

h = frac1284^2 = (128)/(16)
h=8 cmh = \boxed{8\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar r = 4² = 16 no denominador, mas esquecer de elevar ao quadrado corretamente.

Passo 7 — Calcular a diferença entre altura e raio

A pergunta final é a diferença h - r. Com os valores ótimos, basta subtrair.

Por que esta fórmula: Diferença é a subtração entre os dois valores.

h−rh - r

De onde vem cada valor: hh = passo 6: 8 cm · rr = passo 5: 4 cm

8−4=4 cm8 - 4 = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem e calcular r - h, que daria -4 cm, mas a questão pede a diferença entre altura e raio.

Resposta: 4 cm — alternativa C

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