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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu219157
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Doc ( )
Dois terrenos retangulares, um ao lado do outro, têm as laterais com a mesma medida. O primeiro terreno tem a medida de frente correspondente ao triplo da metade da medida lateral, e o segundo tem medida de frente 10 m maior que a medida da frente do primeiro terreno.   Sabendo-se que a média aritmética simples das áreas desses dois terrenos é de 4 000 m2, o perímetro do terreno de maior área é de
  1. A250 m.
  2. B260 m.
  3. C270 m.
  4. D280 m.
  5. E290 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 270 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 270 m — alternativa C.

A ideia por trás

Um retângulo é uma figura de quatro lados com os lados opostos iguais e todos os ângulos retos. A área é a medida da superfície, calculada multiplicando o comprimento pela largura, e o perímetro é a soma de todos os lados, ou seja, duas vezes a soma do comprimento com a largura. A média aritmética de dois números é a soma deles dividida por dois.

A área de um retângulo é A = base × altura. Se a base (frente) e a altura (lateral) são conhecidas, a área é direta. O perímetro é P = 2 × (base + altura). A média aritmética de duas áreas é (A1 + A2)/2. Quando uma das dimensões é desconhecida, montamos uma equação a partir da média e resolvemos para achar essa dimensão.

Esta questão pede para montar uma equação usando a média das áreas, resolver para a lateral, e então calcular o perímetro do terreno com maior área. O desafio é traduzir as relações entre as frentes em expressões algébricas e não errar na hora de identificar qual terreno tem a maior área.

O que a questão dá

  • dois terrenos retangulares com a mesma lateral

  • frente do primeiro = triplo da metade da lateral

  • frente do segundo = frente do primeiro + 10 m

  • média aritmética das áreas = 4000 m²

O que queremos: o perímetro do terreno de maior área

Passo 1 — Chamar a lateral de x e escrever as frentes

Precisamos de uma variável para representar a medida lateral, que é comum aos dois terrenos. A partir dela, as frentes são expressas em função de x, permitindo montar as áreas.

Por que esta fórmula: A frente do primeiro é o triplo da metade da lateral: 3 × (x/2) = 3x/2. A frente do segundo é 10 m maior: 3x/2 + 10.

f1=3x2,f2=3x2+10f_1 = \frac{3x}{2}, \quad f_2 = \frac{3x}{2} + 10

De onde vem cada valor: xx = definição: lateral comum, a ser determinada · f1f_1 = enunciado: triplo da metade da lateral · f2f_2 = enunciado: 10 m maior que a frente do primeiro

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 3 antes de dividir por 2, ou interpretar 'triplo da metade' como 3x/2 em vez de (3/2)x.

Passo 2 — Escrever as áreas dos dois terrenos

Com as frentes em função de x, podemos calcular as áreas, que são o produto da frente pela lateral. Isso é necessário para montar a equação da média.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base × altura. Aqui a base é a frente e a altura é a lateral x.

A_1 = (3x)/(2) · x = frac3x^22, quad A_2 = ((3x)/(2) + 10) · x = frac3x^22 + 10x

De onde vem cada valor: 3x2\frac{3x}{2} = passo 1: frente do primeiro · xx = definição: lateral comum · 3x2+10\frac{3x}{2} + 10 = passo 1: frente do segundo

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar a frente pela lateral errada, ou esquecer de distribuir o x no segundo terreno.

Passo 3 — Montar a equação da média das áreas

O enunciado diz que a média aritmética das áreas é 4000 m². A média de dois números é a soma dividida por 2, então montamos essa equação com as áreas do passo 2.

Por que esta fórmula: A média aritmética de A1 e A2 é (A1 + A2)/2. Igualamos a 4000.

A1+A22=4000\frac{A_1 + A_2}{2} = 4000

De onde vem cada valor: A1A_1 = passo 2 · A2A_2 = passo 2 · 40004000 = enunciado: média das áreas

fracfrac3x^22 + (frac3x^22 + 10x)2 = 4000
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir a soma por 2, ou somar as áreas sem simplificar.

Passo 4 — Simplificar a equação da média

Para resolver a equação, precisamos simplificá-la. Somamos as frações e multiplicamos ambos os lados para eliminar o denominador.

Por que esta fórmula: Somando as áreas: (3x²/2) + (3x²/2) = 3x², e depois +10x. A equação fica (3x² + 10x)/2 = 4000. Multiplicando por 2: 3x² + 10x = 8000.

3x2+10x=80003x^{2} + 10x = 8000

De onde vem cada valor: 3x23x^{2} = passo 2: soma de A_1 e A_2 simplificada · 10x10x = passo 2: termo de A_2 · 80008000 = passo 3: 4000 × 2

NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma das frações, ou não multiplicar corretamente por 2.

Passo 5 — Resolver a equação do segundo grau

A equação 3x² + 10x - 8000 = 0 é do segundo grau. Precisamos achar o valor de x, que é a lateral. Usamos a fórmula de Bhaskara.

Por que esta fórmula: Para ax² + bx + c = 0, a solução é x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a). Aqui a=3, b=10, c=-8000.

x=−10±102−4⋅3⋅(−8000)2⋅3x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-8000)}}{2 \cdot 3}

De onde vem cada valor: aa = passo 4: coeficiente de x², 3 · bb = passo 4: coeficiente de x, 10 · cc = passo 4: termo constante, -8000

x=−10±100+960006=−10±3106x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 96000}}{6} = \frac{-10 \pm 310}{6}
x=50m(descartandoaraiznegativa)x = \boxed{50 m (descartando a raiz negativa)}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de c, ou esquecer de calcular o discriminante corretamente.

Passo 6 — Calcular as frentes e as áreas

Com x = 50 m, podemos calcular as frentes e as áreas de cada terreno. Isso é necessário para identificar qual tem a maior área.

Por que esta fórmula: Substituímos x = 50 nas expressões do passo 1 e 2.

f1=3⋅502=75,f2=75+10=85,A1=75×50=3750,A2=85×50=4250f_1 = \frac{3 \cdot 50}{2} = 75, \quad f_2 = 75 + 10 = 85, \quad A_1 = 75 \times 50 = 3750, \quad A_2 = 85 \times 50 = 4250

De onde vem cada valor: xx = passo 5: 50 m · f1f_1 = passo 1 · f2f_2 = passo 1 · A1A_1 = passo 2 · A2A_2 = passo 2

A_1 = 3750 m², A_2 = 4250 m²

NÃO CAIA NESSA!

Confundir as frentes, ou calcular a área do primeiro com a frente do segundo.

Passo 7 — Calcular o perímetro do terreno de maior área

O terreno de maior área é o segundo, com 4250 m². O perímetro é a soma dos quatro lados, ou seja, duas vezes a soma da frente com a lateral.

Por que esta fórmula: Perímetro do retângulo: P = 2 × (frente + lateral).

P=2×(85+50)P = 2 \times (85 + 50)

De onde vem cada valor: 8585 = passo 6: frente do segundo terreno · 5050 = passo 5: lateral · 135135 = passo 7: soma de 85 e 50

P=2×135=270 mP = 2 \times 135 = \boxed{270\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular o perímetro do primeiro terreno (2×(75+50)=250) ou somar os perímetros dos dois.

Resposta: 270 m — alternativa C

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