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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu219158
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Doc ( )
Sobre um mapa de uma região, foi aplicado um sistema de coordenadas cartesianas, em que cada segmento de medida unitária, nesse sistema, correspondia a 12,8 quilômetros reais.   Nesse sistema, duas cidades foram identificadas com as coordenadas (4, –8) e (–5, 4), o que implica que a distância real entre essas duas cidades, em linha reta, é de
  1. A180 km.
  2. B184 km.
  3. C188 km.
  4. D192 km.
  5. E196 km.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 192 km.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 192 km — alternativa D.

A ideia por trás

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento de reta que os une. Para calculá-la, usamos o Teorema de Pitágoras: as diferenças entre as coordenadas x e y formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa.

A fórmula é d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]. Cada diferença é elevada ao quadrado, então o sinal das coordenadas não importa para o resultado final, mas é preciso subtrair corretamente. A distância cresce com o tamanho das diferenças: quanto mais afastados os pontos, maior a distância.

Esta questão pede a distância entre dois pontos dados e depois a conversão para a escala real. O passo crítico é calcular a distância no plano e depois multiplicar pela escala.

O que a questão dá

  • coordenadas da cidade A: (4, -8)

  • coordenadas da cidade B: (-5, 4)

  • escala: 1 unidade = 12,8 km

O que queremos: a distância real entre as duas cidades, em linha reta

Passo 1 — Calcular a diferença das abscissas

A fórmula da distância precisa das diferenças entre as coordenadas x e y. Começamos pela diferença das abscissas (x₂ - x₁), que é um dos catetos do triângulo retângulo imaginário.

Por que esta fórmula: A diferença das abscissas é a distância horizontal entre os pontos. Subtraímos a coordenada x do segundo ponto pela do primeiro.

Δx=x2−x1\Delta x = x_2 - x_1

De onde vem cada valor: x2x_2 = enunciado: -5 (coordenada x da cidade B) · x1x_1 = enunciado: 4 (coordenada x da cidade A)

Δx=−5−4=−9=−9\Delta x = -5 - 4 = -9 = \boxed{-9}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: -5 - 4 = -9, não -1. Cuidado com a regra de sinais.

Passo 2 — Calcular a diferença das ordenadas

Assim como fizemos para x, precisamos da diferença das ordenadas (y₂ - y₁), que é o outro cateto do triângulo retângulo.

Por que esta fórmula: A diferença das ordenadas é a distância vertical entre os pontos. Subtraímos a coordenada y do segundo ponto pela do primeiro.

Δy=y2−y1\Delta y = y_2 - y_1

De onde vem cada valor: y2y_2 = enunciado: 4 (coordenada y da cidade B) · y1y_1 = enunciado: -8 (coordenada y da cidade A)

Δy=4−(−8)=4+8=12=12\Delta y = 4 - (-8) = 4 + 8 = 12 = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de trocar o sinal ao subtrair um número negativo: 4 - (-8) = 12, não -4.

Passo 3 — Aplicar a fórmula da distância

Com as duas diferenças em mãos, podemos usar o Teorema de Pitágoras: a distância é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças Δx e Δy. Por isso usamos a fórmula d = √(Δx² + Δy²).

d = √((Delta x)^2 + (Delta y)^2)

De onde vem cada valor: Δx\Delta x = passo 1: -9 · Δy\Delta y = passo 2: 12

d = sqrt(-9)^2 + (12)^2 = √(81 + 144) = √(225) = 15\ unidades
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado as diferenças e somar diretamente: -9 + 12 = 3, o que daria uma distância errada.

Passo 4 — Converter unidades do mapa em quilômetros

A distância calculada está em unidades do mapa, mas a questão pede a distância real em quilômetros. O enunciado fornece a escala: cada unidade equivale a 12,8 km.

Por que esta fórmula: A conversão é uma regra de três simples: se 1 unidade = 12,8 km, então 15 unidades = 15 × 12,8 km. Multiplicamos a distância em unidades pela escala.

dreal=dmapa×12,8d_{real} = d_{mapa} \times 12{,}8

De onde vem cada valor: dmapad_{mapa} = passo 3: 15 unidades · 12,812{,}8 = enunciado: escala de 1 unidade = 12,8 km

dreal=15×12,8=192=192 kmd_{real} = 15 \times 12{,}8 = 192 = \boxed{192\ \text{km}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a escala e dividir em vez de multiplicar: 15 ÷ 12,8 ≈ 1,17 km, o que não faz sentido.

Resposta: 192 km — alternativa D

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