Questão de Matemática — Números Complexos — VUNESP 2025

Números Complexos: divisão

Gabarito: letra B. Para dividir o número real 4 pelo complexo i – 3, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador (i + 3), o que elimina a parte imaginária do denominador e resulta em $\dfrac{-6-2i}{5}$. O processo é: $\dfrac{4}{i-3} \cdot \dfrac{i+3}{i+3} = \dfrac{4i+12}{i^2 - 9} = \dfrac{4i+12}{-1-9} = \dfrac{12+4i}{-10} = \dfrac{-6-2i}{5}$.

A ideia por trás

Números complexos são da forma $z = a + bi$, onde $a$ é a parte real e $b$ a parte imaginária, com $i^2 = -1$. Para dividir dois números complexos, não podemos simplesmente dividir as partes — precisamos eliminar a parte imaginária do denominador. Isso é feito multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de $a + bi$ é $a - bi$; o produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real: $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$.

No caso, o denominador é $i - 3$, que pode ser reescrito como $-3 + i$. Seu conjugado é $-3 - i$, ou, equivalentemente, $i + 3$ (pois a ordem dos termos não altera o produto). Multiplicamos então:

No denominador, aplicamos o produto notável $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

No numerador, distribuímos o 4:

Assim, temos:

Dividindo cada termo por -2 (simplificando a fração):

Que é exatamente a alternativa B.

A pegadinha

A banca explora dois erros comuns: (1) esquecer de multiplicar pelo conjugado e tentar dividir termo a termo, o que não é válido; (2) errar o sinal ao simplificar, especialmente porque o denominador $i-3$ tem a parte real negativa. Muitos candidatos chegam a $\dfrac{12+4i}{-10}$ e, ao simplificar, trocam os sinais, marcando a alternativa D ($\dfrac{6+2i}{5}$) em vez de B. A alternativa D é exatamente o resultado sem aplicar a simplificação correta do sinal negativo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\dfrac{-3-i}{2}$ não corresponde ao resultado. Esse valor seria obtido se, ao simplificar $\dfrac{12+4i}{-10}$, o candidato dividisse apenas o numerador por 2 e o denominador por 5, o que não é uma simplificação válida (não é uma divisão por um fator comum). O correto é dividir ambos os termos por -2, resultando em $\dfrac{-6-2i}{5}$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\dfrac{4}{i-3} = \dfrac{-6-2i}{5}$. A conta completa: multiplica-se pelo conjugado $i+3$, obtém-se $\dfrac{4i+12}{i^2-9} = \dfrac{4i+12}{-10} = \dfrac{-6-2i}{5}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\dfrac{-6+2i}{5}$ tem a parte imaginária com sinal trocado. O erro ocorre quando o candidato, ao simplificar $\dfrac{4i+12}{-10}$, esquece que o sinal negativo do denominador afeta também o termo imaginário. O correto é $\dfrac{-6-2i}{5}$, com ambas as partes negativas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\dfrac{6+2i}{5}$ é o resultado sem aplicar o sinal negativo do denominador. O candidato que chega a $\dfrac{12+4i}{-10}$ e simplesmente divide por 2 sem considerar o sinal de menos obtém $\dfrac{6+2i}{5}$, que é o erro clássico. O denominador é -10, então o sinal negativo deve ser distribuído para ambos os termos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\dfrac{3+i}{2}$ não tem relação com o resultado correto. Esse valor seria obtido se o candidato simplificasse $\dfrac{12+4i}{-10}$ dividindo por 4 no numerador e por 5 no denominador, o que não é uma simplificação válida (não é um fator comum). O correto é dividir por -2.

Gabarito: letra B