Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025

Tangram e a tangente do paralelogramo

Gabarito: letra C — a tangente do maior ângulo interno do paralelogramo é -1. No tangram, o paralelogramo é formado por dois triângulos retângulos isósceles, o que faz com que seus ângulos sejam 45° e 135°. O maior ângulo interno é o de 135°, e a tangente de 135° é -1 (pois 135° está no 2º quadrante, onde a tangente é negativa, e $\tan(135°) = -\tan(45°) = -1$).

O tangram é um quebra-cabeça geométrico clássico: um quadrado dividido em sete peças — cinco triângulos retângulos isósceles, um quadrado e um paralelogramo. A beleza do tangram está no fato de que todas as peças são construídas a partir de um mesmo quadrado básico, o que impõe relações rígidas entre seus ângulos e lados. Para resolver a questão, precisamos entender a estrutura do paralelogramo dentro desse contexto.

O paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos. Uma propriedade fundamental é que os ângulos opostos são congruentes e os ângulos adjacentes são suplementares (somam 180°). No tangram, o paralelogramo é montado a partir de dois triângulos retângulos isósceles. Um triângulo retângulo isósceles tem dois ângulos de 45° e um de 90°. Quando dois desses triângulos são unidos para formar o paralelogramo, os ângulos resultantes são exatamente 45° e 135° (pois 45° + 90° = 135°, e o ângulo raso de 180° é completado com o outro 45°).

Assim, o paralelogramo do tangram tem dois ângulos de 45° e dois de 135°. O maior ângulo interno é o de 135°. Para calcular a tangente de 135°, usamos a redução ao primeiro quadrante: 135° = 180° - 45°. No segundo quadrante, a tangente é negativa, e a tangente de 135° é igual a -tan(45°). Como tan(45°) = 1, temos tan(135°) = -1.

A pegadinha clássica desta questão é o sinal. Muitos candidatos calculam a tangente de 45° e esquecem que o ângulo de 135° está no segundo quadrante, onde a tangente é negativa. Outros podem confundir o maior ângulo com o de 45°, ou errar a redução ao primeiro quadrante. A chave é lembrar que a tangente é negativa nos quadrantes II e IV, e que o ângulo de 135° é o suplemento de 45°.

Guarde a relação entre o ângulo e seu suplemento: para ângulos no segundo quadrante, a tangente é o oposto da tangente do ângulo complementar. É exatamente essa inversão de sinal que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\tan(135°) = -1$, não $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. O valor $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ corresponde à tangente de 150° (ou de 330°), que não é um ângulo do paralelogramo do tangram. A banca coloca esse valor para testar se o candidato confunde os ângulos notáveis.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\tan(135°) = -1$, não $-\sqrt{3}$. O valor $-\sqrt{3}$ corresponde à tangente de 120° (ou de 300°). O ângulo de 120° não aparece no paralelogramo do tangram, que tem ângulos de 45° e 135°.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O maior ângulo interno do paralelogramo é 135°. A tangente de 135° é calculada por redução ao primeiro quadrante: $\tan(135°) = \tan(180° - 45°) = -\tan(45°) = -1$. O sinal negativo vem do fato de 135° estar no segundo quadrante, onde a tangente é negativa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\tan(135°) = -1$, não $\sqrt{3}$. O valor $\sqrt{3}$ corresponde à tangente de 60° (ou de 240°). O ângulo de 60° não aparece no paralelogramo do tangram, que tem ângulos de 45° e 135°.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\tan(135°) = -1$, não $\frac{\sqrt{3}}{3}$. O valor $\frac{\sqrt{3}}{3}$ corresponde à tangente de 30° (ou de 210°). O ângulo de 30° não aparece no paralelogramo do tangram, que tem ângulos de 45° e 135°.

Gabarito: letra C