Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2025

Proporcionalidade direta e inversa

Gabarito: letra C. Na função $y = ax$, com $a$ constante real não nula, $y$ é diretamente proporcional a $x$ para qualquer valor de $a$, pois a razão $\frac{y}{x} = a$ é constante — e é exatamente essa constância do quociente que define a proporcionalidade direta. A alternativa C é a única que captura essa regra sem condicioná-la ao sinal de $a$.

A proporcionalidade é um dos conceitos mais fundamentais da matemática e aparece em praticamente todas as provas de concurso. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante: se uma dobra, a outra dobra; se uma triplica, a outra triplica. Matematicamente, $y$ é diretamente proporcional a $x$ se $\frac{y}{x} = k$, onde $k$ é uma constante diferente de zero. Isso significa que $y = kx$ — exatamente a forma da função dada no enunciado, com $k = a$.

Já duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre elas é constante: se uma dobra, a outra se reduz à metade; se uma triplica, a outra cai para um terço. A forma matemática é $y \cdot x = k$, ou seja, $y = \frac{k}{x}$. Note a diferença crucial: na proporcionalidade direta, a variável independente $x$ aparece no numerador (multiplicando); na inversa, aparece no denominador (dividindo).

Vamos aplicar isso à função do enunciado. Temos $y = ax$, com $a \neq 0$. Para verificar se há proporcionalidade direta, calculamos a razão $\frac{y}{x} = \frac{ax}{x} = a$. Como $a$ é uma constante (não depende de $x$), a razão é constante — logo, $y$ é diretamente proporcional a $x$. E isso vale independentemente do valor de $a$, seja ele positivo, negativo, inteiro, fracionário, etc. O sinal de $a$ apenas determina se a função é crescente ($a > 0$) ou decrescente ($a < 0$), mas não altera a natureza da proporcionalidade.

Para verificar se haveria proporcionalidade inversa, calcularíamos o produto $y \cdot x = ax \cdot x = ax^2$, que não é constante (depende de $x$). Portanto, $y$ não é inversamente proporcional a $x$ em hipótese alguma. A pegadinha da questão está exatamente em tentar condicionar a proporcionalidade ao sinal de $a$ — como se $a < 0$ mudasse algo. Não muda: a definição de proporcionalidade direta é a constância do quociente, e o quociente $\frac{y}{x} = a$ é constante para qualquer $a$ não nulo.

Um exemplo concreto: se $a = 2$, temos $y = 2x$. Quando $x = 1$, $y = 2$; quando $x = 2$, $y = 4$; quando $x = 3$, $y = 6$. A razão $\frac{y}{x}$ é sempre 2. Se $a = -3$, temos $y = -3x$. Quando $x = 1$, $y = -3$; quando $x = 2$, $y = -6$. A razão $\frac{y}{x}$ é sempre -3. Em ambos os casos, a razão é constante — proporcionalidade direta confirmada, independentemente do sinal de $a$.

Guarde o critério decisivo: proporcionalidade direta = quociente constante ($y/x = k$); proporcionalidade inversa = produto constante ($y \cdot x = k$). É exatamente nessa distinção que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $y$ é diretamente proporcional a $x$ somente se $a < 0$. O erro está no "somente se": a proporcionalidade direta vale para qualquer valor de $a$ não nulo, não apenas para $a$ negativo. O sinal de $a$ não interfere na constância do quociente $\frac{y}{x} = a$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $y$ é inversamente proporcional a $x$ somente se $a < 0$. Duplo erro: primeiro, $y$ nunca é inversamente proporcional a $x$ nesta função, pois o produto $y \cdot x = ax^2$ não é constante; segundo, mesmo que fosse, não haveria relação com o sinal de $a$. A forma $y = ax$ é típica de proporcionalidade direta, não inversa.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $y$ é diretamente proporcional a $x$ independentemente do valor de $a$. Correto: a razão $\frac{y}{x} = a$ é constante para qualquer $a \neq 0$, o que define a proporcionalidade direta. O sinal de $a$ apenas altera o sentido do crescimento (crescente se $a > 0$, decrescente se $a < 0$), mas não a natureza da relação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $y$ é inversamente proporcional a $x$ independentemente do valor de $a$. Incorreto: $y$ nunca é inversamente proporcional a $x$ nesta função, pois o produto $y \cdot x = ax^2$ varia com $x$. A proporcionalidade inversa exigiria a forma $y = \frac{k}{x}$, o que não é o caso.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $y$ não é diretamente nem inversamente proporcional a $x$. A segunda parte é verdadeira (não é inversamente proporcional), mas a primeira é falsa: $y$ é diretamente proporcional a $x$, pois $\frac{y}{x} = a$ é constante. A alternativa erra ao negar a proporcionalidade direta.

Gabarito: letra C