Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219163

Função Logarítmica: identificando a lei de formação a partir do gráfico

Gabarito: letra E. A função que passa por A(–1, –1) e B(8, 0) é $y = -1 + \log_{10}(x+2)$ , pois substituindo os pontos: em A, $\log_{10}(1) = 0$ ; em B, $\log_{10}(10) = 1$ . A alternativa E é a única que satisfaz ambos os pontos.

A questão pede para associar um gráfico a uma expressão algébrica. O caminho mais direto é testar os pontos fornecidos nas alternativas. Uma função logarítmica da forma $y = -1 + \log_b(x + c)$ tem uma assíntota vertical em $x = -c$ e cresce (ou decresce) conforme a base $b$ . Como o gráfico contém os pontos A(–1, –1) e B(8, 0), a lei de formação correta deve produzir exatamente esses valores.

Vamos analisar cada alternativa substituindo as coordenadas dos pontos. Para o ponto A(–1, –1), precisamos que $f(-1) = -1$ . Para o ponto B(8, 0), precisamos que $f(8) = 0$ . A alternativa que satisfaz ambas as condições é a correta.

Alternativa	Ponto A(–1, –1)	Ponto B(8, 0)	Resultado
A: y = –1 + ln(x+1)	ln(0) indefinido → não existe	ln(9) ≈ 2,197 → y ≈ 1,197 ≠ 0	❌ Incorreta
B: y = –1 + ln(x+2)	ln(1) = 0 → y = –1 ✓	ln(10) ≈ 2,302 → y ≈ 1,302 ≠ 0	❌ Incorreta
C: y = –1 + log₂(x+2)	log₂(1) = 0 → y = –1 ✓	log₂(10) ≈ 3,322 → y ≈ 2,322 ≠ 0	❌ Incorreta
D: y = –1 + log₁₀(x+1)	log₁₀(0) indefinido → não existe	log₁₀(9) ≈ 0,954 → y ≈ –0,046 ≠ 0	❌ Incorreta
E: y = –1 + log₁₀(x+2)	log₁₀(1) = 0 → y = –1 ✓	log₁₀(10) = 1 → y = 0 ✓	✅ Correta

Alternativa A — ❌ Incorreta

$y = -1 + \ln(x+1)$ . Testando o ponto A(–1, –1): $\ln(0)$ não está definido, pois o logaritmando deve ser positivo. Portanto, a função não existe em x = –1, e o ponto A não pertence ao gráfico. Além disso, mesmo que o ponto A fosse válido, o ponto B(8, 0) exigiria $\ln(9) = 1$ , o que é falso, pois $\ln(9) \approx 2,197$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

$y = -1 + \ln(x+2)$ . Testando o ponto A(–1, –1): $\ln(1) = 0$ , então $y = -1$ , correto. Testando o ponto B(8, 0): $\ln(10) \approx 2,302$ , então $y = -1 + 2,302 = 1,302 \neq 0$ . Portanto, o ponto B não pertence ao gráfico.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$y = -1 + \log_2(x+2)$ . Testando o ponto A(–1, –1): $\log_2(1) = 0$ , então $y = -1$ , correto. Testando o ponto B(8, 0): $\log_2(10) \approx 3,322$ , então $y = -1 + 3,322 = 2,322 \neq 0$ . Portanto, o ponto B não pertence ao gráfico.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$y = -1 + \log_{10}(x+1)$ . Testando o ponto A(–1, –1): $\log_{10}(0)$ não está definido, pois o logaritmando deve ser positivo. Portanto, a função não existe em x = –1, e o ponto A não pertence ao gráfico. Além disso, mesmo que o ponto A fosse válido, o ponto B(8, 0) exigiria $\log_{10}(9) = 1$ , o que é falso, pois $\log_{10}(9) \approx 0,954$ .

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$y = -1 + \log_{10}(x+2)$ . Testando o ponto A(–1, –1): $\log_{10}(1) = 0$ , então $y = -1$ , correto. Testando o ponto B(8, 0): $\log_{10}(10) = 1$ , então $y = -1 + 1 = 0$ , correto. Portanto, a alternativa E é a única que satisfaz ambos os pontos.

PEGA ESSA DICA!

Para identificar a função logarítmica a partir de pontos do gráfico, teste cada ponto nas alternativas. O ponto A(–1, –1) elimina as alternativas com $x+1$ no logaritmando, pois $\log(0)$ não existe. O ponto B(8, 0) exige que o logaritmando seja 10 (para que o logaritmo seja 1), o que só ocorre com $x+2$ na base 10. Assim, a alternativa E é a única que passa nos dois testes.

Gabarito: letra E