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Questão de Matemática — Outras Questões de Matemática — VUNESP 2025

MatemáticaOutras Questões de Matemática
Código
vu219165
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Doc ( )
O valor de ^{lim}_{x→-2}x2−5x−14x3+x2−2x\dfrac{x^2-5x-14}{x^3+x^2-2x}
  1. A–1,5.
  2. B–0,5.
  3. C0.
  4. D0,5.
  5. E1,5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — –1,5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a -1,5 — alternativa A.

A ideia por trás

O limite de uma função pergunta para onde o valor dela se aproxima quando a variável se aproxima de um certo número, sem necessariamente alcançá-lo. Quando, ao substituir o valor, obtemos 0/0, dizemos que há uma indeterminação — a função não está definida naquele ponto, mas pode ter um limite bem definido ao redor dele.

Para polinômios, a indeterminação 0/0 indica que tanto o numerador quanto o denominador têm o fator (x - a), onde a é o valor para o qual x tende. Fatorando ambos e cancelando esse fator comum, a expressão se simplifica e o limite pode ser calculado por substituição direta. O cancelamento é válido porque, no limite, x nunca é exatamente igual a a.

Esta questão cobra exatamente essa técnica: identificar a indeterminação, fatorar os polinômios, cancelar o fator comum e então substituir o valor de x. O cuidado extra está no sinal do denominador após a simplificação.

O que a questão dá

  • limite quando x tende a -2

  • numerador: x² - 5x - 14

  • denominador: x³ + x² - 2x

O que queremos: o valor do limite

Passo 1 — Substituir x por -2 na expressão

O primeiro passo é sempre tentar a substituição direta: se o resultado for um número, o limite é esse número. Aqui, ao substituir, numerador e denominador zeram, o que indica uma indeterminação 0/0 — sinal de que precisamos simplificar a expressão antes de concluir.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é a definição de limite: avaliar a função no ponto, se possível. O resultado 0/0 mostra que a função não está definida ali, mas pode ter limite.

0 /0(indeterminac\ca~o)\boxed{0\ /0 (\text{indetermina}çã\text{o})}
NÃO CAIA NESSA!

Parar aqui e achar que o limite não existe — a indeterminação é removível e exige fatoração.

Passo 2 — Fatorar o numerador

Como o numerador é um polinômio do segundo grau, procuramos dois números que somem -5 e multipliquem -14. Esses números são 2 e -7, então o numerador se escreve como (x+2)(x-7).

Por que esta fórmula: A fatoração de um trinômio x² + bx + c é (x + p)(x + q) com p+q = b e p·q = c. Aqui b = -5 e c = -14.

x2−5x−14=(x+2)(x−7)x^{2} - 5x - 14 = (x+2)(x-7)

De onde vem cada valor: x2−5x−14x^{2} - 5x - 14 = enunciado: numerador

(x+2)(x−7)\boxed{(\text{x}+2)(\text{x}-7)}
NÃO CAIA NESSA!

Escolher números que somam 5 em vez de -5, invertendo os sinais.

Passo 3 — Fatorar o denominador

O denominador é um polinômio do terceiro grau, mas tem um fator x em comum. Colocando x em evidência, sobra um trinômio do segundo grau que também pode ser fatorado.

Por que esta fórmula: Primeiro extraímos o fator comum x: x³ + x² - 2x = x(x² + x - 2). Depois fatoramos o trinômio: procuramos dois números que somem 1 e multipliquem -2, que são 2 e -1, então x² + x - 2 = (x+2)(x-1).

x3+x2−2x=x(x+2)(x−1)x^{3} + x^{2} - 2x = x(x+2)(x-1)

De onde vem cada valor: x3+x2−2xx^{3} + x^{2} - 2x = enunciado: denominador

x(x+2)(x−1)\boxed{\text{x}(\text{x}+2)(\text{x}-1)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de colocar o x em evidência e tentar fatorar direto como se fosse um trinômio.

Passo 4 — Cancelar o fator comum (x+2)

Como x tende a -2, mas nunca é exatamente -2, podemos cancelar o fator (x+2) que aparece no numerador e no denominador. Isso simplifica a expressão e elimina a indeterminação.

Por que esta fórmula: A propriedade de cancelamento em frações: (a·b)/(a·c) = b/c, desde que a ≠ 0. No limite, x ≠ -2, então o cancelamento é válido.

(x+2)(x−7)x(x+2)(x−1)=x−7x(x−1)\frac{(x+2)(x-7)}{x(x+2)(x-1)} = \frac{x-7}{x(x-1)}

De onde vem cada valor: (x+2)(x−7)(x+2)(x-7) = passo 2 · x(x+2)(x−1)x(x+2)(x-1) = passo 3

x−7x(x−1)\boxed{\frac{x-7}{x(x-1)}}
NÃO CAIA NESSA!

Cancelar (x+2) mesmo quando x = -2, o que não é permitido — mas no limite isso não acontece.

Passo 5 — Substituir x por -2 na expressão simplificada

Agora a expressão não tem mais indeterminação, então podemos calcular o limite substituindo x por -2 diretamente.

Por que esta fórmula: A expressão simplificada é contínua em x = -2, então o limite é o valor da função nesse ponto.

x−7x(x−1)\frac{x-7}{x(x-1)}

De onde vem cada valor: x−7x-7 = passo 4 · x(x−1)x(x-1) = passo 4

−2−7(−2)(−2−1)=−9(−2)(−3)\frac{-2-7}{(-2)(-2-1)} = \frac{-9}{(-2)(-3)}
−96=−1,5\frac{-9}{6} = \boxed{-1{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal do denominador: (-2)(-3) é +6, não -6; quem erra obtém -1,5 em vez de -1,5? Na verdade, quem erra o sinal obtém +1,5 (alternativa E).

Resposta: -1,5 — alternativa A

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