Questão de Matemática — Definição, Subconjuntos, Inclusão e Pertinência, Operações, Conjunto das Partes — VUNESP 2025

Complementar de um conjunto

Gabarito: letra B. Para que exista o complementar do conjunto M em relação ao universo N, é necessário que M seja subconjunto de N (M ⊂ N). O complementar de M em N é o conjunto de todos os elementos de N que não pertencem a M — e essa operação só faz sentido se todos os elementos de M estiverem dentro de N.

O complementar é uma operação entre conjuntos que depende diretamente da relação de inclusão. Quando dizemos "complementar de M em N", estamos falando de tudo o que existe em N, mas não existe em M. A notação é $C_N(M) = N - M$ (ou $N \setminus M$). Para que essa diferença seja chamada de complementar, é preciso que M esteja contido em N, ou seja, que todo elemento de M também seja elemento de N.

Vamos pensar em um exemplo concreto. Imagine que N seja o conjunto dos alunos de uma escola e M seja o conjunto dos alunos que usam óculos. O complementar de M em N seria o conjunto dos alunos da escola que NÃO usam óculos. Isso só faz sentido porque todos os alunos que usam óculos (M) estão dentro do conjunto de todos os alunos (N). Se houvesse um aluno que usa óculos fora do conjunto N, o complementar não estaria bem definido.

A definição formal de subconjunto é: A é subconjunto de B se todo elemento de A também pertence a B. A notação é A ⊂ B. Essa é exatamente a condição exigida para o complementar existir. O complementar de M em N é definido como $C_N(M) = \{x \in N \mid x \notin M\}$, e essa definição só é válida quando M ⊂ N.

A pegadinha desta questão está na inversão da relação de inclusão. Muitos candidatos confundem e marcam a alternativa A (N ⊂ M), mas isso está errado. Se N estivesse contido em M, o complementar de M em N seria o conjunto vazio, pois não haveria elementos de N fora de M. A condição correta é exatamente o contrário: M deve estar contido em N.

Guarde esta distinção: o complementar exige que o conjunto "menor" (M) esteja dentro do conjunto "maior" (N). É essa relação de inclusão que garante que a operação faça sentido.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que N ⊂ M, ou seja, que N é subconjunto de M. Isso está invertido. Se N estivesse contido em M, o complementar de M em N seria o conjunto vazio, pois não haveria elementos de N fora de M. A condição correta é M ⊂ N.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que M ⊂ N, ou seja, que M é subconjunto de N. Esta é exatamente a condição necessária para que o complementar de M em N exista. O complementar é definido como o conjunto dos elementos de N que não estão em M, e isso só faz sentido se todos os elementos de M estiverem dentro de N.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que N ≠ M, ou seja, que os conjuntos são diferentes. Embora seja verdade que, em geral, N e M são diferentes, essa condição não é suficiente para garantir a existência do complementar. Se N ≠ M, mas N não contém M (por exemplo, se houver elementos de M fora de N), o complementar não estará bem definido. A condição correta é a inclusão M ⊂ N.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que M = N, ou seja, que os conjuntos são iguais. Se M = N, o complementar de M em N seria o conjunto vazio, pois todos os elementos de N estão em M. Embora o complementar exista nesse caso (seria vazio), a igualdade não é uma condição necessária — M pode ser um subconjunto próprio de N, e o complementar ainda existirá. A condição correta é M ⊂ N.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que N = ∅, ou seja, que o universo N é vazio. Se N é vazio, então M também deve ser vazio (pois M ⊂ N), e o complementar seria vazio. No entanto, essa condição é muito restritiva e não é necessária. O complementar pode existir para qualquer N que contenha M, não apenas para N vazio. A condição correta é M ⊂ N.

Gabarito: letra B