Questão de Matemática — Funções Modulares, Equações Modulares e Inequações Modulares — VUNESP 2025

Inequação modular: |2x + 4| + x > 5

Gabarito: letra E — a solução é a união de dois intervalos: $x < -9$ ou $x > \frac{1}{3}$. A resolução exige analisar a inequação modular em dois casos, conforme o sinal da expressão dentro do módulo, e depois unir as soluções de cada caso.

O que é uma inequação modular?

Uma inequação modular é uma desigualdade em que a incógnita aparece dentro de um módulo (valor absoluto). O módulo de um número real $a$, denotado $|a|$, é a distância desse número até zero na reta real — portanto, é sempre não negativo. A definição formal é:

Essa definição é a chave para resolver qualquer equação ou inequação modular: precisamos dividir o problema em dois casos, um para cada possível sinal da expressão interna.

A regra de ouro: dois casos, sempre

Para resolver $|f(x)| > k$ (com $k > 0$), usamos a propriedade:

Ou seja, o módulo "explode" em duas desigualdades: uma com a expressão negativa (menor que $-k$) e outra com a expressão positiva (maior que $k$). A solução final é a união dos conjuntos solução de cada caso.

No nosso problema, temos $|2x + 4| + x > 5$. Primeiro, isolamos o módulo:

Agora aplicamos a propriedade acima, com $f(x) = 2x + 4$ e $k = 5 - x$. Mas atenção: $k$ depende de $x$! Isso não invalida a propriedade, pois ela vale para qualquer expressão real $k$ — desde que a desigualdade seja estrita. Vamos então escrever:

Caso 1: $2x + 4 < -(5 - x)$

Caso 2: $2x + 4 > 5 - x$

Portanto, a solução é a união:

Que corresponde exatamente à alternativa E.

Por que a alternativa E e não outra?

A pegadinha clássica nesse tipo de questão é inverter o sinal da desigualdade ao multiplicar por um número negativo, ou esquecer de unir os dois intervalos. Aqui, a banca também explora a confusão entre união (ou) e interseção (e). Veja:

• Se você resolvesse cada caso e fizesse a interseção dos intervalos, obteria um conjunto vazio (pois $x < -9$ e $x > \frac{1}{3}$ não têm elementos em comum).

• A alternativa C apresenta exatamente essa interseção: $-9 < x < \frac{1}{3}$, que é o erro típico de quem esquece que a solução é a união.

Outra pegadinha: a alternativa D inverte os sinais ($x < -\frac{1}{3}$ e $x > 9$), trocando os valores críticos. Isso acontece quando o aluno resolve as desigualdades de forma incorreta, por exemplo, esquecendo de inverter o sinal ao multiplicar por $-1$.

Verificação com um exemplo

Vamos testar um valor em cada intervalo para confirmar:

• Para $x = -10$ (que está em $x < -9$): $|2(-10) + 4| + (-10) = |-16| - 10 = 16 - 10 = 6 > 5$ ✅

• Para $x = 1$ (que está em $x > \frac{1}{3}$): $|2(1) + 4| + 1 = |6| + 1 = 7 > 5$ ✅

• Para $x = 0$ (que está entre $-9$ e $\frac{1}{3}$): $|2(0) + 4| + 0 = 4$, que não é maior que 5 ❌

Confirma que a solução é realmente a união dos dois intervalos.

Resumo do método

1. Isole o módulo em um dos lados da desigualdade.

2. Aplique a propriedade: $|f(x)| > k \iff f(x) < -k$ ou $f(x) > k$.

3. Resolva cada inequação separadamente.

4. A solução final é a união dos conjuntos solução.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $x < -9$, que é a solução do primeiro caso, mas esquece do segundo caso ($x > \frac{1}{3}$). A solução completa é a união dos dois, não apenas um deles.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $x > \frac{1}{3}$, que é a solução do segundo caso, mas também esquece do primeiro ($x < -9$). Novamente, falta a união.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $-9 < x < \frac{1}{3}$, que é a interseção dos dois intervalos. Mas a interseção é vazia, pois não existe número real que seja simultaneamente menor que $-9$ e maior que $\frac{1}{3}$. Essa é a pegadinha clássica: confundir ou (união) com e (interseção).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $x < -\frac{1}{3}$ e $x > 9$, invertendo os valores críticos. Isso ocorre quando se resolve as desigualdades de forma incorreta, por exemplo, trocando os sinais ou os coeficientes. Os valores corretos são $-9$ e $\frac{1}{3}$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta exatamente a união dos dois intervalos: $x < -9$ ou $x > \frac{1}{3}$. É a solução completa da inequação, obtida pela aplicação correta da propriedade do módulo.

Gabarito: letra E