Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — VUNESP 2025

Simplificação de expressão trigonométrica

Gabarito: letra E — a expressão $(\cossec(x) - \cotg(x)) \cdot (\sec(x) + 1)$ simplifica para $\tg(x)$. A chave é reescrever cossecante, cotangente e secante em termos de seno e cosseno, aplicar a relação fundamental $\sen^2 x + \cos^2 x = 1$ e cancelar os fatores comuns.

O que são essas funções?

As funções cossecante, secante e cotangente são as razões recíprocas das funções básicas:

• $\cossec(x) = \dfrac{1}{\sen(x)}$ (inverso do seno)

• $\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}$ (inverso do cosseno)

• $\cotg(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sen(x)}$ (inverso da tangente)

Essas definições vêm diretamente do círculo trigonométrico, onde o seno é a coordenada y e o cosseno a coordenada x de um ponto sobre o círculo de raio 1. A tangente, por sua vez, é o quociente entre seno e cosseno: $\tg(x) = \dfrac{\sen(x)}{\cos(x)}$.

A simplificação passo a passo

Substituindo as definições na expressão original:

No primeiro parêntese, colocamos $\dfrac{1}{\sen x}$ em evidência:

No segundo parêntese, escrevemos 1 como $\dfrac{\cos x}{\cos x}$ para somar as frações:

Multiplicando os numeradores, aparece o produto notável $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x$. Pela relação fundamental da trigonometria, $1 - \cos^2 x = \sen^2 x$. Assim:

Portanto, a expressão simplificada é $\tg(x)$.

Por que as outras alternativas estão erradas?

Cada alternativa incorreta representa um erro comum de simplificação:

• –tg(x): sinal trocado — o candidato pode errar o sinal ao manipular a subtração ou esquecer que o produto de dois fatores positivos resulta em positivo.

• –cos(x): resultado com sinal negativo e função errada — confusão entre as razões recíprocas.

• sen(x): resultado parcial — o candidato pode simplificar até $\sen x$ e parar, sem perceber que ainda há divisão por $\cos x$.

• cos(x): função errada — troca de seno por cosseno na simplificação.

A pegadinha da banca

A banca explora a memorização mecânica das identidades sem o entendimento de como aplicá-las. O candidato que decora as fórmulas, mas não sabe reescrever a expressão em termos de seno e cosseno, tende a errar o sinal ou a função final. A dica é: sempre que aparecer cossecante, secante ou cotangente, converta tudo para seno e cosseno primeiro — isso padroniza a simplificação e evita erros.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$–\tg(x)$ tem o sinal trocado. A expressão original é um produto de dois fatores: $(\cossec x - \cotg x)$ e $(\sec x + 1)$. Para $x$ no primeiro quadrante, ambos os fatores são positivos, logo o produto é positivo. A alternativa apresenta sinal negativo, o que contraria o resultado correto. O erro típico é esquecer que $1 - \cos x$ e $1 + \cos x$ são ambos positivos para $\cos x < 1$, resultando em $\sen^2 x$ positivo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$–\cos(x)$ não corresponde a nenhuma etapa da simplificação. O candidato pode ter confundido as razões recíprocas: por exemplo, trocar $\cossec x$ por $\sec x$ ou $\cotg x$ por $\tg x$. O sinal negativo também não tem justificativa, pois a expressão original é positiva em todo o domínio onde está definida (exceto onde o seno ou cosseno se anulam, mas aí a expressão não está definida).

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\sen(x)$ é um resultado parcial da simplificação. De fato, após aplicar o produto notável, obtemos $\dfrac{\sen^2 x}{\sen x \cdot \cos x}$. Se o candidato cancelar $\sen x$ do numerador com o $\sen x$ do denominador, fica $\dfrac{\sen x}{\cos x}$, que é $\tg x$. Parar em $\sen x$ indica que ele não completou a divisão por $\cos x$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\cos(x)$ é a função errada. O candidato pode ter confundido a relação fundamental: em vez de $1 - \cos^2 x = \sen^2 x$, usou $1 - \sen^2 x = \cos^2 x$, o que levaria a um resultado diferente. Ou pode ter simplificado incorretamente, cancelando fatores que não são comuns.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A simplificação correta é $\tg(x)$. Como demonstrado, a expressão se reduz a $\dfrac{\sen x}{\cos x}$, que é exatamente a definição de tangente. A alternativa E é a única que corresponde ao resultado final.

Gabarito: letra E