Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219171

Fatoração de polinômios com raízes complexas

Gabarito: letra A. A forma fatorada de $x^3 - 7x^2 + 16x - 10$ é $(x - 1)(x - 3 - i)(x - 3 + i)$ , pois $x = 1$ é raiz real e as outras duas raízes são $3 + i$ e $3 - i$ , obtidas pela fórmula de Bhaskara aplicada ao quociente da divisão por $(x - 1)$ .

Fatorar um polinômio é escrevê-lo como um produto de polinômios de grau menor. Para um polinômio de grau 3, a forma fatorada é $(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$ , onde $r_1$ , $r_2$ e $r_3$ são as raízes da equação $P(x) = 0$ . O Teorema Fundamental da Álgebra garante que todo polinômio de grau $n$ tem exatamente $n$ raízes complexas (contando multiplicidades), e o Teorema da Decomposição afirma que ele pode ser escrito como produto de fatores lineares $(x - r_i)$ .

O primeiro passo é encontrar uma raiz real. Testando os divisores do termo independente ( $-10$ ): $x = 1$ é raiz, pois $1 - 7 + 16 - 10 = 0$ . Dividindo o polinômio por $(x - 1)$ (pelo dispositivo de Briot-Ruffini ou divisão algébrica), obtemos o quociente $x^2 - 6x + 10$ . Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara a essa equação do 2º grau:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{6 \pm 2i}{2} = 3 \pm i

Portanto, as raízes são $1$ , $3 + i$ e $3 - i$ . A forma fatorada é $(x - 1)(x - (3 + i))(x - (3 - i)) = (x - 1)(x - 3 - i)(x - 3 + i)$ .

A pegadinha central desta questão é o sinal dentro dos parênteses: como a raiz é $3 + i$ , o fator correspondente é $x - (3 + i) = x - 3 - i$ . A banca explora exatamente a troca de sinais, oferecendo alternativas com $x + 3 - i$ ou $x + 3 + i$ , que corresponderiam a raízes $-3 + i$ e $-3 - i$ , respectivamente.

Guarde o critério decisivo: a raiz $r$ gera o fator $(x - r)$ . É essa relação que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a forma fatorada correta. As raízes são $1$ , $3 + i$ e $3 - i$ , e cada uma gera seu fator: $(x - 1)$ , $(x - (3 + i)) = (x - 3 - i)$ e $(x - (3 - i)) = (x - 3 + i)$ . Expandindo, obtemos exatamente o polinômio original.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O erro está no primeiro fator: $(x + 1)$ corresponde à raiz $x = -1$ , mas $x = 1$ é a raiz real do polinômio. Testando: $(-1)^3 - 7(-1)^2 + 16(-1) - 10 = -1 - 7 - 16 - 10 = -34 \neq 0$ . Portanto, $-1$ não é raiz.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Os fatores $(x + 3 - i)$ e $(x + 3 + i)$ correspondem às raízes $-3 + i$ e $-3 - i$ , que não são raízes do polinômio. A raiz correta é $3 + i$ , que gera o fator $x - 3 - i$ , não $x + 3 - i$ . A banca trocou o sinal da parte real.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa acumula dois erros: o primeiro fator $(x + 1)$ corresponde à raiz $-1$ (que não é raiz), e os fatores $(x + 3 - i)$ e $(x + 3 + i)$ correspondem às raízes $-3 \pm i$ (que também não são raízes). Nenhum dos três fatores está correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O primeiro fator $(x - 1)$ está correto, mas os fatores $(x + 3 + i)$ e $(x - 3 - i)$ estão trocados. O fator $(x + 3 + i)$ corresponde à raiz $-3 - i$ , que não é raiz do polinômio. A raiz correta é $3 + i$ , que gera o fator $x - 3 - i$ ; e a raiz $3 - i$ gera o fator $x - 3 + i$ , que não aparece na alternativa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a raiz e o fator. Lembre-se: se $r$ é raiz, o fator é $(x - r)$ . Assim, a raiz $3 + i$ gera o fator $x - 3 - i$ , e não $x + 3 - i$ . Verifique sempre o sinal dentro do parêntese.

Gabarito: letra A