Questão de Matemática — Equações Logarítmicas — VUNESP 2025

Equações Exponenciais e Logaritmos

Gabarito: letra A. O zero da função $f(x) = 4^{x-1} - 5^{2x+2}$ é $x = \log_{4/25} 100$, pois isolando a exponencial e aplicando logaritmo na base $\frac{4}{25}$ obtemos exatamente esse valor. A resolução usa a equivalência fundamental entre exponencial e logaritmo: $a^b = c \iff b = \log_a c$.

O problema pede o zero da função, ou seja, o valor de $x$ que torna $f(x) = 0$. Temos uma equação exponencial com bases diferentes (4 e 5), o que impede a simples igualação de expoentes. A estratégia é isolar a potência e aplicar logaritmo. Vamos ao cálculo passo a passo:

1. Igualamos a função a zero: $4^{x-1} - 5^{2x+2} = 0$

2. Isolamos uma das potências: $4^{x-1} = 5^{2x+2}$

3. Aplicamos logaritmo na base $\frac{4}{25}$ em ambos os lados: $\log_{4/25}(4^{x-1}) = \log_{4/25}(5^{2x+2})$

4. Usamos a propriedade do logaritmo da potência: $(x-1)\log_{4/25}4 = (2x+2)\log_{4/25}5$

5. Expandimos: $x\log_{4/25}4 - \log_{4/25}4 = 2x\log_{4/25}5 + 2\log_{4/25}5$

6. Agrupamos os termos com $x$: $x(\log_{4/25}4 - 2\log_{4/25}5) = \log_{4/25}4 + 2\log_{4/25}5$

7. Usamos a propriedade do logaritmo da potência nos coeficientes: $x(\log_{4/25}4 - \log_{4/25}25) = \log_{4/25}4 + \log_{4/25}25$

8. Usamos a propriedade do logaritmo do quociente e do produto: $x\log_{4/25}(4/25) = \log_{4/25}(4 \cdot 25)$

9. Como $\log_{4/25}(4/25) = 1$ e $4 \cdot 25 = 100$, temos: $x \cdot 1 = \log_{4/25}100$

10. Portanto: $x = \log_{4/25}100$

A chave da questão está em escolher a base do logaritmo de forma que a expressão se simplifique. Ao aplicar logaritmo na base $\frac{4}{25}$, o coeficiente de $x$ se torna $\log_{4/25}(4/25) = 1$, simplificando drasticamente a equação. Essa é uma técnica clássica para resolver equações exponenciais com bases diferentes.

A alternativa correta é a letra A. As demais alternativas apresentam bases ou logaritmandos diferentes, que não correspondem ao resultado obtido.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor encontrado é exatamente $x = \log_{4/25}100$. A base $\frac{4}{25}$ foi escolhida estrategicamente para que o coeficiente de $x$ se tornasse 1, e o logaritmando 100 é o produto $4 \cdot 25$, que surge naturalmente da manipulação algébrica. Esta é a resposta correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\log_{4/25}50$. O logaritmando 50 seria obtido se, no passo 8, tivéssemos $4 \cdot 25 = 100$, mas a alternativa usa 50, que não corresponde a nenhum produto ou quociente relevante da resolução. O erro está no logaritmando: o correto é 100, não 50.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\log_{25/4}100$. A base $\frac{25}{4}$ é o inverso da base correta $\frac{4}{25}$. Se aplicássemos logaritmo na base $\frac{25}{4}$, o coeficiente de $x$ seria $\log_{25/4}(4/25) = -1$, o que levaria a $x = -\log_{25/4}100$, um valor diferente. A base correta é $\frac{4}{25}$, não seu inverso.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\log_{25/4}50$. Esta alternativa combina dois erros: a base invertida ($\frac{25}{4}$ em vez de $\frac{4}{25}$) e o logaritmando errado (50 em vez de 100). Nenhum dos dois valores corresponde ao resultado da resolução.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\log_{4/5}100$. A base $\frac{4}{5}$ não é a base que simplifica a equação. Se aplicássemos logaritmo nessa base, o coeficiente de $x$ seria $\log_{4/5}(4/25)$, que não é um valor simples, e a expressão não se simplificaria para $x = \log_{4/5}100$. A base correta é $\frac{4}{25}$.

Gabarito: letra A