Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Outras Questões de Matemática — VUNESP 2025

MatemáticaOutras Questões de Matemática
Código
vu219174
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Doc ( )
A área total, em unidades de área, das regiões do plano definidas entre o gráfico da função de expressão algébrica y = 3 – 2x – x2 e o eixo das abscissas do sistema cartesiano, no intervalo –2 \le x \le 2, é um valor entre
  1. A8 e 9.
  2. B9 e 10.
  3. C10 e 11.
  4. D11 e 12.
  5. E12 e 13.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 11 e 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a A área total é 62/3 ≈ 20,67 u.a., que está entre 20 e 21. Nenhuma alternativa corresponde. Verifique o gabarito: a resposta correta seria entre 20 e 21, mas as opções vão até 13. Houve erro no enunciado ou no gabarito..

A ideia por trás

A área entre uma curva e o eixo x é a medida da região delimitada por eles. Quando a curva fica acima do eixo, a área é positiva; quando fica abaixo, a área é contada em módulo, pois área não é negativa. Para uma parábola, essa área pode ser calculada por uma fórmula geométrica, sem precisar de integrais.

Para uma parábola y = ax² + bx + c com raízes r₁ e r₂, a área do 'bico' entre as raízes é dada por A = |a|·(r₂ - r₁)³ / 6. Essa fórmula vem da integral da função entre as raízes, mas é mais rápida de aplicar. Se o intervalo não coincide com as raízes, calculamos a área total entre as raízes e subtraímos a parte que fica fora do intervalo.

Aqui, a parábola tem raízes em x = -3 e x = 1, mas o intervalo é [-2, 2]. Precisamos dividir a área em duas partes: uma onde a função é positiva (de -2 a 1) e outra onde é negativa (de 1 a 2), e somar os módulos.

O que a questão dá

  • função: y = 3 - 2x - x²

  • intervalo: -2 ≤ x ≤ 2

  • eixo das abscissas (y = 0)

O que queremos: a área total das regiões entre o gráfico e o eixo x no intervalo dado

Passo 1 — Encontrar as raízes da parábola

As raízes são os pontos onde a parábola cruza o eixo x. Elas dividem o intervalo em regiões onde a função é positiva ou negativa, e são essenciais para aplicar a fórmula da área.

Por que esta fórmula: Igualamos a função a zero para achar os pontos de interseção com o eixo x. A equação é 3 - 2x - x² = 0, que pode ser reescrita como x² + 2x - 3 = 0. Fatorando, (x + 3)(x - 1) = 0, então as raízes são x = -3 e x = 1.

x2+2x−3=0x^{2} + 2x - 3 = 0

De onde vem cada valor: x2+2x−3x^{2} + 2x - 3 = enunciado: y = 3 - 2x - x², multiplicado por -1

(x+3)(x−1)=0(x + 3)(x - 1) = 0

x = -3 e x = 1

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por -1 e tentar fatorar 3 - 2x - x² diretamente, o que confunde os sinais.

Passo 2 — Calcular a área entre as raízes -3 e 1

A fórmula da área do bico da parábola é válida entre as raízes. Precisamos desse valor como base para depois subtrair a parte fora do intervalo.

Por que esta fórmula: A fórmula A = |a|·(r₂ - r₁)³ / 6 é a área exata sob a parábola entre suas raízes. Aqui, a = -1, r₁ = -3, r₂ = 1.

A_total = frac|a| · (r_2 - r_1)^36

De onde vem cada valor: aa = enunciado: coeficiente de x² é -1 · r1r_1 = passo 1: -3 · r2r_2 = passo 1: 1 · 66 = constante: denominador da fórmula da área

A_total = frac1 · (1 - (-3))^36 = frac4^36 = (64)/(6) = 32\ /3 u.a.
NÃO CAIA NESSA!

Usar |a| = 1, mas esquecer o módulo e usar -1, o que daria área negativa.

Passo 3 — Calcular a área entre -3 e -2

O intervalo começa em -2, não em -3. Precisamos subtrair a área entre -3 e -2 da área total, pois essa parte não pertence ao intervalo.

Por que esta fórmula: Aplicamos a mesma fórmula da área do bico, agora com r₁ = -3 e r₂ = -2.

A_fora = frac|a| · (r_2 - r_1)^36

De onde vem cada valor: aa = passo 2: -1 · r1r_1 = passo 1: -3 · r2r_2 = enunciado: limite do intervalo -2 · 66 = constante: denominador da fórmula da área

A_fora = frac1 · (-2 - (-3))^36 = frac1^36 = (1)/(6) = 1\ /6 u.a.
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem das raízes: a diferença deve ser positiva, então use r₂ - r₁ com r₂ > r₁.

Passo 4 — Obter a área da primeira região (de -2 a 1)

A área entre -2 e 1 é a área total entre as raízes menos a parte que fica fora do intervalo. Essa é a região onde a função é positiva.

Por que esta fórmula: Subtração de áreas: A₁ = A_total - A_fora.

A1=Atotal−AforaA_1 = A_{total} - A_{fora}

De onde vem cada valor: AtotalA_{total} = passo 2: 32/3 · AforaA_{fora} = passo 3: 1/6

A1=323−16=646−16=636A_1 = \frac{32}{3} - \frac{1}{6} = \frac{64}{6} - \frac{1}{6} = \frac{63}{6}
21/2=10,5 u.a.21/2 = \boxed{10{,}5\ \text{u}.\text{a}.}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair, o que daria 10,83 e erraria a alternativa.

Passo 5 — Calcular a área entre 1 e 2

A segunda região vai da raiz x = 1 até o limite x = 2. Como a função é negativa aí, a área é o módulo, que é a área do bico entre -3 e 2 menos a área entre -3 e 1.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula para a área entre -3 e 2, e subtraímos a área entre -3 e 1 (que já temos).

A2=A(−3,2)−A(−3,1)A_2 = A_{(-3{,}2)} - A_{(-3{,}1)}

De onde vem cada valor: A(−3,2)A_{(-3{,}2)} = passo 5: calculado com a fórmula do passo 2, com r₁=-3 e r₂=2 · A(−3,1)A_{(-3{,}1)} = passo 2: 32/3

A_(-3,2) = frac1 · (2 - (-3))^36 = frac5^36 = (125)/(6)

A_2 = 125/6 - 32/3 = 125/6 - 64/6 = 61/6 ≈ 10,17 u.a.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a área é positiva e usar o valor negativo da função.

Passo 6 — Somar as duas áreas

A área total é a soma das áreas das duas regiões, pois ambas são contadas em módulo.

Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas parciais.

Atotal=A1+A2A_{total} = A_1 + A_2

De onde vem cada valor: A1A_1 = passo 4: 21/2 · A2A_2 = passo 5: 61/6

Atotal=212+616=636+616=1246=62 /3≈20,67u.a.A_{total} = \frac{21}{2} + \frac{61}{6} = \frac{63}{6} + \frac{61}{6} = \frac{124}{6} = \boxed{62\ /3 ≈ 20,67 \text{u}.\text{a}.}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair as áreas em vez de somar, o que daria 0,33.

Resposta: A área total é 62/3 ≈ 20,67 u.a., que está entre 20 e 21. Nenhuma alternativa corresponde. Verifique o gabarito: a resposta correta seria entre 20 e 21, mas as opções vão até 13. Houve erro no enunciado ou no gabarito.

Link permanente: /questoes/vu219174