Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219175

Derivada de função logarítmica

Gabarito: letra D — $f'(7) = \dfrac{1}{40}$ . Aplicando a regra da cadeia à função $f(x) = \dfrac{1}{6}\ln\left(\dfrac{x-3}{x+3}\right)$ , obtemos $f'(x) = \dfrac{1}{x^2-9}$ , e em $x=7$ o resultado é $\dfrac{1}{49-9} = \dfrac{1}{40}$ .

A questão cobra a derivada de uma função composta envolvendo logaritmo natural. O primeiro passo é reconhecer a estrutura: temos uma constante multiplicando o logaritmo de um quociente. A derivada do logaritmo natural é $\dfrac{d}{dx}[\ln(u)] = \dfrac{u'}{u}$ , e como o argumento é um quociente, precisamos também da regra do quociente (ou reescrever como diferença de logaritmos, o que simplifica o cálculo).

Vamos resolver de forma direta. Podemos reescrever a função usando a propriedade do logaritmo do quociente: $\ln\left(\dfrac{x-3}{x+3}\right) = \ln(x-3) - \ln(x+3)$ . Assim, $f(x) = \dfrac{1}{6}[\ln(x-3) - \ln(x+3)]$ . Derivando termo a termo:

f'(x) = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{x-3} - \dfrac{1}{x+3}\right)

Colocando sobre o mesmo denominador:

f'(x) = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{(x+3) - (x-3)}{(x-3)(x+3)}\right) = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{6}{x^2-9}\right) = \dfrac{1}{x^2-9}

Agora, substituindo $x = 7$ :

f'(7) = \dfrac{1}{7^2 - 9} = \dfrac{1}{49 - 9} = \dfrac{1}{40}

O domínio da função exige $x > 3$ (para o logaritmo existir), e $x=7$ está dentro desse intervalo, então o ponto é válido.

A pegadinha clássica neste tipo de questão é esquecer a regra da cadeia ou errar a derivada do quociente. Outro erro comum é derivar apenas o logaritmo e ignorar a constante $\dfrac{1}{6}$ , ou ainda simplificar incorretamente a fração final. Vamos analisar cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{1}{10}$ não corresponde a nenhuma etapa do cálculo. Se o candidato errasse a derivada do quociente (por exemplo, derivando $\dfrac{x-3}{x+3}$ como $\dfrac{1}{x+3}$ sem aplicar a regra), poderia chegar a um valor próximo, mas o resultado correto é $\dfrac{1}{40}$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{1}{20}$ também não é o resultado. Um erro comum que leva a esse número é esquecer de subtrair corretamente no numerador da derivada do quociente, obtendo um denominador diferente de $x^2-9$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{1}{30}$ não corresponde ao cálculo. Se o candidato calculasse $7^2 - 9$ como $49 - 19 = 30$ (erro de aritmética), chegaria a $\dfrac{1}{30}$ , mas o correto é $49 - 9 = 40$ .

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $f'(x) = \dfrac{1}{x^2-9}$ e $f'(7) = \dfrac{1}{49-9} = \dfrac{1}{40}$ . A alternativa está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{1}{50}$ não corresponde ao cálculo. Se o candidato errasse a derivada do logaritmo (por exemplo, derivando $\ln\left(\dfrac{x-3}{x+3}\right)$ como $\dfrac{1}{\frac{x-3}{x+3}}$ sem aplicar a regra da cadeia), poderia chegar a um valor próximo, mas o resultado correto é $\dfrac{1}{40}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre derivar o logaritmo e derivar o argumento. O candidato que esquece a regra da cadeia ou erra a derivada do quociente chega a um dos distratores. A dica é sempre reescrever o logaritmo do quociente como diferença de logaritmos — isso simplifica o cálculo e evita erros.

PEGA ESSA DICA!

Para funções do tipo $f(x) = k\ln\left(\dfrac{g(x)}{h(x)}\right)$ , use a propriedade $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ antes de derivar. Isso transforma a regra do quociente em uma simples subtração de derivadas, reduzindo a chance de erro.

Gabarito: letra D