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Questão de Matemática — Radiciação e Potenciação — VUNESP 2025

MatemáticaRadiciação e Potenciação
Código
vu219189
Banca
VUNESP
Órgão
UNESP
Ano
2025
Cargo
V - - Ass Soc ( )
A senha de uma porta com fechadura eletrônica é o número resultante do cálculo da expressão:((162)14+(163)16)23+(((162)14+(163)16)23−1)⋅(((162)14+(163)16)23+1)\left( (16^2)^{\frac{1}{4}} + (16^3)^{\frac{1}{6}} \right)^{\frac{2}{3}} +\left ( \left( (16^2)^{\frac{1}{4}} + (16^3)^{\frac{1}{6}} \right)^{\frac{2}{3}} - 1\right ) \cdot \left( \left( (16^2)^{\frac{1}{4}} + (16^3)^{\frac{1}{6}} \right)^{\frac{2}{3}} + 1 \right)   A senha dessa fechadura é um valor que pertence ao intervalo de números entre
  1. A9 e 15.
  2. B15 e 21.
  3. C21 e 27.
  4. D27 e 33.
  5. E33 e 39.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 15 e 21.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 19, que pertence ao intervalo entre 15 e 21 — alternativa B.

A ideia por trás

Potenciação é a operação de multiplicar um número por ele mesmo várias vezes; radiciação é a operação inversa, que pergunta qual número elevado a um certo expoente resulta no valor dado. Quando o expoente é uma fração, como 1/4 ou 2/3, a potência combina as duas: a base é elevada ao numerador e extrai-se a raiz do denominador. Por exemplo, a^(m/n) = (n-ésima raiz de a)^m.

Duas propriedades são essenciais: (a^m)^n = a^(m·n), que permite multiplicar expoentes quando há potência de potência, e a^(m/n) = (n-ésima raiz de a)^m, que converte expoente fracionário em raiz. Além disso, o produto notável (x-1)(x+1) = x² - 1 simplifica expressões com termos repetidos. Essas propriedades valem para bases positivas, como é o caso aqui.

Esta questão cobra a simplificação de uma expressão com expoentes fracionários e a percepção de que um bloco se repete. A estratégia é calcular o valor do bloco repetido e substituí-lo por uma variável, transformando a expressão em algo simples.

O que a questão dá

  • expressão: ((16^2)^(1/4) + (16^3)^(1/6))^(2/3) + (((16^2)^(1/4) + (16^3)^(1/6))^(2/3) - 1) * (((16^2)^(1/4) + (16^3)^(1/6))^(2/3) + 1)

O que queremos: o valor numérico da expressão, para identificar em qual intervalo ele se encontra

Passo 1 — Simplificar cada potência de potência

A expressão tem dois termos com potência de potência: (16^2)^(1/4) e (16^3)^(1/6). Antes de somar, precisamos reduzi-los a números simples, usando a propriedade que multiplica os expoentes.

Por que esta fórmula: A propriedade (a^m)^n = a^(m·n) permite juntar os expoentes. Depois, o expoente fracionário vira raiz: a^(1/2) é a raiz quadrada de a.

(16^2)^1/4 = 16^2 · 1/4 = 16^1/2 = √(16)

De onde vem cada valor: 1616 = enunciado: base da potência · 22 = enunciado: expoente interno · 1/41/4 = enunciado: expoente externo

16^2 · 1/4 = 16^1/2 = √(16) = 4
NÃO CAIA NESSA!

Somar os expoentes em vez de multiplicá-los: 2 + 1/4 = 9/4, o que daria 16^(9/4), um número grande e errado.

Passo 2 — Simplificar o segundo termo

O segundo termo (16^3)^(1/6) também é potência de potência; aplicamos a mesma propriedade para reduzi-lo a um número simples.

Por que esta fórmula: Mesma propriedade: (a^m)^n = a^(m·n). Aqui, 3 · 1/6 = 1/2, então vira raiz quadrada de 16.

(16^3)^1/6 = 16^3 · 1/6 = 16^1/2 = √(16)

De onde vem cada valor: 1616 = enunciado: base · 33 = enunciado: expoente interno · 1/61/6 = enunciado: expoente externo

16^3 · 1/6 = 16^1/2 = √(16) = 4
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 3/6 com 1/3, o que daria raiz cúbica de 16, um número irracional.

Passo 3 — Calcular o bloco repetido

A expressão inteira tem o bloco ((16^2)^(1/4) + (16^3)^(1/6))^(2/3) repetido três vezes. Vamos calcular o valor desse bloco primeiro, porque ele é a chave para simplificar tudo.

Por que esta fórmula: Dentro do bloco, somamos os dois valores que já calculamos: 4 + 4 = 8. Depois elevamos 8 a 2/3, que é o mesmo que (raiz cúbica de 8) ao quadrado.

x = (4 + 4)^2/3 = 8^2/3 = (sqrt[3]8)^2

De onde vem cada valor: 44 = passo 2 · 2/32/3 = enunciado: expoente do bloco

x = (4 + 4)^2/3 = 8^2/3 = (sqrt[3]8)^2 = 4
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 8^(2/3) como (8^2)^(1/3) = 64^(1/3) ≈ 4, mas esquecer que a raiz cúbica de 8 é 2, e 2² = 4; o resultado é o mesmo, mas o caminho errado pode levar a erro de sinal.

Passo 4 — Substituir o bloco na expressão

Agora que sabemos que o bloco vale 4, substituímos todas as ocorrências dele na expressão original por 4. Isso transforma a expressão gigante em uma expressão algébrica simples.

Por que esta fórmula: A expressão original é x + (x-1)(x+1), onde x é o bloco. Substituir x por 4 é só trocar a letra pelo número.

x+(x−1)(x+1)x + (x-1)(x+1)

De onde vem cada valor: xx = passo 3: 4

4+(4−1)(4+1)=4 +3⋅54 + (4-1)(4+1) = \boxed{4\ + 3 \cdot 5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de substituir todas as ocorrências do bloco, deixando um termo com a expressão original.

Passo 5 — Aplicar o produto notável

Temos (x-1)(x+1), que é um produto notável: a diferença de quadrados. Aplicá-lo evita multiplicar termo a termo e simplifica a conta.

Por que esta fórmula: O produto notável (a-b)(a+b) = a² - b². Aqui, a = x e b = 1, então (x-1)(x+1) = x² - 1.

(x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1) = x^{2} - 1

De onde vem cada valor: xx = passo 3: 4

(4−1)(4+1)=42−1(4-1)(4+1) = 4^{2} - 1
16−1=1516 - 1 = \boxed{15}
NÃO CAIA NESSA!

Expandir como x² + 2x + 1, que é o quadrado da soma, não o produto da soma pela diferença.

Passo 6 — Somar tudo

A expressão inteira é x + (x-1)(x+1). Já temos o valor do produto notável; agora é só somar com x.

Por que esta fórmula: Substituímos o produto notável pelo valor calculado e somamos com x.

x+(x2−1)x + (x^{2} - 1)

De onde vem cada valor: xx = passo 3: 4 · x2−1x^{2} - 1 = passo 5: 15

4+15=194 + 15 = \boxed{19}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 4 + 4 + 4 = 12, ignorando o produto notável e tratando a expressão como soma de três termos iguais.

Resposta: 19, que pertence ao intervalo entre 15 e 21 — alternativa B

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