Questão de Matemática — Área e Perímetro do Triângulo — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 1.890 m² — alternativa D.

A ideia por trás

A área de um triângulo é a medida da superfície que ele ocupa, calculada como metade do produto da base pela altura correspondente. Quando o triângulo não é retângulo, mas tem uma altura interna que o divide em dois triângulos retângulos, podemos usar o teorema de Pitágoras para descobrir medidas desconhecidas dos lados.

A fórmula da área é A = (b × h) / 2, onde b é a base e h é a altura perpendicular a ela. O teorema de Pitágoras, a² = b² + c², vale para triângulos retângulos e relaciona a hipotenusa com os catetos. Frações de um todo são somadas com denominadores comuns; a fração restante é 1 menos a soma das frações usadas.

Esta questão exige primeiro descobrir a base AC do triângulo usando Pitágoras nos dois triângulos retângulos formados pela altura BD, depois calcular a área total e aplicar as frações para achar a parte da jardinagem.

O que a questão dá

• AB = 130 m

• BD = 120 m

• BC = 150 m

• 3/8 da área para edificações

• 2/5 da área para estacionamentos e calçadas

O que queremos: a área destinada à jardinagem

Passo 1 — Descobrir o lado AD do triângulo ABD

O triângulo ABC é dividido pela altura BD em dois triângulos retângulos: ABD e BCD. Para achar a base total AC, precisamos das medidas AD e DC. No triângulo ABD, conhecemos a hipotenusa AB e um cateto BD, então o teorema de Pitágoras nos dá o outro cateto.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, AB é a hipotenusa, BD e AD são os catetos.

De onde vem cada valor: $AB$ = enunciado: 130 m · $BD$ = enunciado: 120 m

Passo 2 — Descobrir o lado DC do triângulo BCD

Assim como no passo anterior, o triângulo BCD também é retângulo em D. Conhecemos a hipotenusa BC e o cateto BD, então aplicamos Pitágoras novamente para achar DC.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: no triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos.

De onde vem cada valor: $BC$ = enunciado: 150 m · $BD$ = enunciado: 120 m

Passo 3 — Calcular a base AC do triângulo ABC

A base AC é formada pelos segmentos AD e DC, que acabamos de encontrar. Somando-os obtemos a medida completa da base, necessária para a área.

Por que esta fórmula: A base é a soma das partes: AC = AD + DC.

De onde vem cada valor: $AD$ = passo 1: 50 m · $DC$ = passo 2: 90 m

Passo 4 — Calcular a área total do triângulo

Com a base AC e a altura BD conhecidas, aplicamos a fórmula da área do triângulo. Essa área total será a referência para as frações.

Por que esta fórmula: A área de qualquer triângulo é metade do produto da base pela altura relativa a ela.

De onde vem cada valor: $AC$ = passo 3: 140 m · $BD$ = enunciado: 120 m

Passo 5 — Somar as frações usadas do terreno

Para saber quanto sobra para jardinagem, primeiro precisamos saber quanto já foi destinado a edificações e estacionamentos. Somamos as frações com denominadores diferentes.

Por que esta fórmula: Para somar frações com denominadores diferentes, encontramos o MMC (aqui 40) e somamos os numeradores.

De onde vem cada valor: $3/8$ = enunciado: fração para edificações · $2/5$ = enunciado: fração para estacionamentos e calçadas

Passo 6 — Calcular a fração restante para jardinagem

O total do terreno é 1 (ou 40/40). Subtraindo a fração já usada, obtemos a fração que sobra para jardinagem.

Por que esta fórmula: A fração restante é o complemento: 1 - fração usada.

De onde vem cada valor: $31/40$ = passo 5

Passo 7 — Calcular a área da jardinagem

Agora temos a área total e a fração que cabe à jardinagem. Multiplicando, obtemos a área em metros quadrados.

Por que esta fórmula: A área de uma fração do terreno é a fração multiplicada pela área total.

De onde vem cada valor: $9/40$ = passo 6 · $A_{ABC}$ = passo 4: 8400 m²

Resposta: 1.890 m² — alternativa D