Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — VUNESP 2025

Taxa de variação e gradiente

Gabarito: letra E — a taxa máxima de variação de $z = f(x,y) = 2x\sqrt{y}$ no ponto $P(2,4)$ é $\sqrt{17}$. Isso porque a taxa máxima de variação de uma função de duas variáveis é dada pela norma do vetor gradiente no ponto, e o gradiente de $f$ em $P(2,4)$ é $\nabla f(2,4) = (4, 1)$, cuja norma é $\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$.

A taxa de variação de uma função de uma variável é a sua derivada, que mede a inclinação da reta tangente ao gráfico. Para funções de duas variáveis, como $z = f(x,y)$, o conceito se generaliza: em cada ponto, a função pode variar em infinitas direções, e a taxa de variação em uma direção específica é dada pela derivada direcional. O vetor gradiente, $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$, aponta na direção de maior crescimento da função, e a taxa máxima de variação é exatamente a norma (magnitude) desse vetor. É um resultado fundamental do cálculo diferencial: a derivada direcional é máxima na direção do gradiente e seu valor máximo é $\|\nabla f\|$.

Vamos calcular o gradiente de $f(x,y) = 2x\sqrt{y}$. A derivada parcial em relação a $x$ trata $y$ como constante: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2\sqrt{y}$. A derivada parcial em relação a $y$ trata $x$ como constante: $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{x}{\sqrt{y}}$. No ponto $P(2,4)$, temos $\frac{\partial f}{\partial x}(2,4) = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(2,4) = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1$. Portanto, o gradiente é $\nabla f(2,4) = (4, 1)$.

A taxa máxima de variação é a norma desse vetor: $\|\nabla f(2,4)\| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$. As alternativas apresentam outras raízes quadradas, que correspondem a erros comuns de cálculo, como esquecer de elevar ao quadrado uma das componentes ou errar na derivada parcial. A chave para resolver a questão é lembrar que a taxa máxima de variação é a norma do gradiente, e não apenas uma das derivadas parciais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\sqrt{23}$ não corresponde a nenhum cálculo direto do gradiente. Esse valor surgiria se, por exemplo, o candidato calculasse $\sqrt{4^2 + 2^2 + 3}$ ou cometesse um erro na derivada parcial em relação a $y$, obtendo $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{y}$ (em vez de $\frac{x}{\sqrt{y}}$), o que daria $\frac{2}{4} = 0,5$, e a norma seria $\sqrt{4^2 + 0,5^2} = \sqrt{16,25}$, que não é $\sqrt{23}$. Não há uma operação simples que resulte em $\sqrt{23}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\sqrt{19}$ também não é o resultado correto. Esse valor poderia surgir de um erro na derivada parcial em relação a $y$, como calcular $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{2\sqrt{y}}$ e obter $\frac{2}{2 \cdot 2} = 0,5$, mas a norma seria $\sqrt{4^2 + 0,5^2} = \sqrt{16,25}$, que não é $\sqrt{19}$. Outra possibilidade seria errar a derivada em relação a $x$, mas $2\sqrt{4} = 4$ é um cálculo simples. $\sqrt{19}$ não corresponde a nenhuma combinação plausível das derivadas corretas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\sqrt{22}$ é um distrator que não corresponde ao cálculo correto. Se o candidato errasse a derivada parcial em relação a $y$, obtendo $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{y}$ (em vez de $\frac{x}{\sqrt{y}}$), teria $\frac{2}{4} = 0,5$, e a norma seria $\sqrt{4^2 + 0,5^2} = \sqrt{16,25}$, que não é $\sqrt{22}$. Outro erro comum seria calcular $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{2y}$ e obter $\frac{2}{8} = 0,25$, resultando em $\sqrt{16 + 0,0625} = \sqrt{16,0625}$, que também não é $\sqrt{22}$. Nenhuma operação simples com as derivadas corretas produz $\sqrt{22}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\sqrt{24}$ é um distrator que poderia surgir se o candidato calculasse a norma do gradiente como $\sqrt{4^2 + 2^2 + 4}$ ou cometesse um erro na derivada parcial em relação a $y$, obtendo $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{\sqrt{y}} + 1$ (um erro de regra da cadeia), o que daria $\frac{2}{2} + 1 = 2$, e a norma seria $\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$, que não é $\sqrt{24}$. Outra possibilidade seria errar a derivada em relação a $x$, mas $2\sqrt{4} = 4$ é um cálculo simples. $\sqrt{24}$ não corresponde a nenhuma combinação plausível das derivadas corretas.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A taxa máxima de variação é a norma do vetor gradiente. Calculamos $\nabla f(2,4) = (4, 1)$, e a norma é $\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$. Este é o valor correto, pois a derivada direcional máxima é $\|\nabla f\|$, e o gradiente foi calculado corretamente: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2\sqrt{y} = 4$ e $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{\sqrt{y}} = 1$ no ponto dado.

Gabarito: letra E