Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — VUNESP 2025
Matemática›Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
Código
vu219194
Banca
VUNESP
Órgão
EsFCEx
Ano
2025
Cargo
CFO/QC ( )
Na figura, P é um ponto do segundo quadrante do sistema cartesiano, pertencente à circunferência de raio unitário com centro na origem desse plano cartesiano. A reta que contém o ponto P e é tangente à referida circunferência nesse ponto intersecta o eixo das abscissas no ponto N e o eixo das ordenadas no ponto M, e β é a medida, em radianos, do arco de circunferência com uma das extremidades no ponto de coordenadas (1,0) e a outra extremidade no ponto P. Os valores da ordenada de M e da abscissa de N, nessa ordem, correspondem, trigonometricamente do arco de medida β, à
Asecante e à cossecante.
Bsecante e à cotangente.
Ccotangente e à secante.
Dcossecante e à secante.
Ecossecante e à cotangente.
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GabaritoD — cossecante e à secante.
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Ciclo trigonométrico: secante, cossecante e a reta tangente
Gabarito: letra D — a ordenada de M (intersecção da tangente com o eixo y) é a cossecante de β, e a abscissa de N (intersecção com o eixo x) é a secante de β. A relação vem das definições no círculo trigonométrico: a reta tangente ao ciclo no ponto P forma, com os eixos, segmentos cujas medidas correspondem exatamente a essas razões.
Para entender por que a resposta é essa, é preciso lembrar o que cada função trigonométrica representa geometricamente no ciclo de raio unitário. O seno de um arco β é a projeção vertical do ponto P sobre o eixo y; o cosseno é a projeção horizontal sobre o eixo x. A tangente, por sua vez, é o comprimento do segmento da reta tangente ao ciclo no ponto (1,0) até o eixo x — mas aqui a reta tangente é outra: é a que toca o ciclo no próprio ponto P, e não no ponto (1,0).
A secante e a cossecante são as funções inversas do cosseno e do seno, respectivamente. No ciclo trigonométrico, a secante de um arco é a medida do segmento da reta tangente ao ciclo no ponto P que vai do eixo x até o ponto de tangência. Já a cossecante é a medida do segmento dessa mesma reta tangente que vai do eixo y até o ponto de tangência. Como o raio do ciclo é 1, esses segmentos medem exatamente 1/cos β e 1/sen β, que são as definições de secante e cossecante.
A figura da questão mostra exatamente essa construção: a reta tangente ao ciclo no ponto P (que está no segundo quadrante) cruza o eixo das ordenadas no ponto M e o eixo das abscissas no ponto N. O segmento de M até P, projetado verticalmente, corresponde à cossecante; o segmento de N até P, projetado horizontalmente, corresponde à secante. Como P está no segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é negativo, o que faz a cossecante ser positiva e a secante negativa — coerente com a posição de M (acima da origem) e N (à esquerda da origem).
A pegadinha clássica desta questão é inverter a ordem: o candidato pode associar M (no eixo y) à secante e N (no eixo x) à cossecante, por pensar que o eixo y corresponde ao cosseno. Mas a relação é inversa: o eixo y está ligado ao seno, e a função inversa do seno é a cossecante. Por isso, M, que está no eixo y, corresponde à cossecante; e N, que está no eixo x, corresponde à secante.
Guarde a correspondência: eixo y → seno → cossecante e eixo x → cosseno → secante. É exatamente nessa correspondência que as alternativas se dividem.
Reta tangente ao ciclo trigonométrico — só Eixo x (cosseno): secante (N); só Eixo y (seno): cossecante (M); Eixo x (cosseno)∩Eixo y (seno): P (tangência)
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que a ordenada de M é a secante e a abscissa de N é a cossecante. Inverte completamente a relação: M está no eixo y, que corresponde ao seno, cuja inversa é a cossecante; N está no eixo x, que corresponde ao cosseno, cuja inversa é a secante.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Diz que a ordenada de M é a secante e a abscissa de N é a cotangente. Além de errar M (que é cossecante), erra N: a cotangente é a razão cosseno/seno, e não está associada ao segmento da reta tangente que corta o eixo x — esse segmento é a secante.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que a ordenada de M é a cotangente e a abscissa de N é a secante. Acerta N, mas erra M: a cotangente não é representada pelo segmento da tangente que corta o eixo y; esse segmento é a cossecante.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A ordenada de M é a cossecante de β, pois M está no eixo y, que corresponde ao seno, e a cossecante é a inversa do seno (1/sen β). A abscissa de N é a secante de β, pois N está no eixo x, que corresponde ao cosseno, e a secante é a inversa do cosseno (1/cos β). A ordem pedida — cossecante e secante — é exatamente a que a alternativa apresenta.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Diz que a ordenada de M é a cossecante e a abscissa de N é a cotangente. Acerta M, mas erra N: a cotangente não é o segmento da tangente que corta o eixo x; esse segmento é a secante.
A regra de ouro para levar à prova: no ciclo trigonométrico, a reta tangente ao ponto P define segmentos que são as funções inversas — o segmento até o eixo x é a secante, e o segmento até o eixo y é a cossecante. Basta lembrar que o eixo x é o eixo do cosseno (secante = 1/cosseno) e o eixo y é o eixo do seno (cossecante = 1/seno).
