GabaritoA — ∞
Gabarito: letra A — a conta chega a O limite é +∞, portanto a alternativa correta é A) ∞..
O Teorema Fundamental do Cálculo diz que derivar e integrar são operações inversas: se F(x) é uma primitiva de h(x), então h(x) = F'(x). Ou seja, para achar a função original a partir da integral, basta derivar a expressão dada. A constante k, que aparece na integral, some na derivação, pois a derivada de uma constante é zero.
A função h(x) = tg^5(x) · sec^2(x) é o produto de duas funções trigonométricas. A tangente é seno sobre cosseno, e a secante é 1 sobre cosseno. Quando o cosseno se aproxima de zero, tanto a tangente quanto a secante crescem em módulo, mas o sinal depende do quadrante. A potência ímpar da tangente preserva o sinal, enquanto o quadrado da secante é sempre positivo.
Esta questão cobra o limite de uma função que explode em um ponto onde o cosseno zera. Precisamos identificar o quadrante de aproximação para determinar o sinal do infinito.
h(x) é a derivada da primitiva dada
primitiva: tg^6(x)/6 + k
ponto de aproximação: 27π/2 pela direita
O que queremos: o limite de h(x) quando x tende a 27π/2 pela direita
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a função h(x) é a derivada da primitiva dada. Derivar é o caminho para conhecer a expressão de h(x) e poder analisar seu limite.
Por que esta fórmula: A derivada de tg^6(x) é 6·tg^5(x)·sec^2(x) pela regra da cadeia. Dividindo por 6, o 6 cancela, sobrando tg^5(x)·sec^2(x). A constante k deriva para zero.
De onde vem cada valor: = definição: derivada de tg^6(x)/6 · = definição: derivada de tg(x)
Esquecer a regra da cadeia e derivar como se fosse x^6, obtendo tg^5(x) sem o sec^2(x).
O limite depende do comportamento de seno e cosseno perto do ponto. Precisamos saber se o cosseno tende a zero por valores positivos ou negativos, pois isso define o sinal da tangente.
Por que esta fórmula: 27π/2 = 13π + π/2. O ângulo 13π está no eixo negativo dos x; somando π/2, chegamos ao eixo negativo dos y. Aproximar pela direita significa girar um pouco mais no sentido anti-horário, entrando no terceiro quadrante, onde seno e cosseno são negativos.
terceiro quadrante: seno < 0, cosseno < 0
Confundir a direção: pela direita é anti-horário, entrando no terceiro quadrante, não no segundo.
A tangente é a razão seno/cosseno. No terceiro quadrante, seno tende a -1 e cosseno tende a 0 por valores negativos. Dividir negativo por negativo dá positivo, e o módulo cresce sem limite.
Por que esta fórmula: tg(x) = sen(x)/cos(x). Com sen(x) → -1 e cos(x) → 0⁻, a fração tende a +∞.
De onde vem cada valor: = passo 2: no terceiro quadrante, seno tende a -1 · = passo 2: no terceiro quadrante, cosseno tende a 0 por valores negativos
Achar que tangente tende a -∞ por não considerar o sinal do cosseno.
A secante é 1/cosseno. Como o cosseno tende a zero, a secante tende a infinito. O quadrado garante que o resultado é sempre positivo, independentemente do sinal do cosseno.
Por que esta fórmula: sec(x) = 1/cos(x). Com cos(x) → 0⁻, sec(x) → -∞, mas ao elevar ao quadrado, (-∞)² = +∞.
De onde vem cada valor: = passo 2: tende a 0 por valores negativos
Esquecer o quadrado e achar que secante tende a -∞, o que mudaria o sinal do produto.
h(x) é o produto de tg^5(x) e sec^2(x). Como ambos tendem a +∞, o produto também tende a +∞. A potência ímpar da tangente preserva o sinal positivo.
Por que esta fórmula: Se lim f(x) = +∞ e lim g(x) = +∞, então lim f(x)·g(x) = +∞. Aqui, f(x) = tg^5(x) e g(x) = sec^2(x).
De onde vem cada valor: = passo 3: tende a +∞ · = passo 4: tende a +∞
Pensar que +∞ · +∞ é indeterminado — não é, é +∞.
Resposta: O limite é +∞, portanto a alternativa correta é A) ∞.
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