GabaritoC — 404 e 409.
Gabarito: letra C — a conta chega a A soma é 405, que está entre 404 e 409 — alternativa C..
Todo número de dois algarismos pode ser escrito como 10a + b, onde a é o algarismo das dezenas (de 1 a 9) e b é o das unidades (de 0 a 9). A soma dos algarismos é a + b. A diferença D entre o número e a soma de seus algarismos é uma propriedade que depende apenas do algarismo das dezenas, pois as unidades se cancelam.
A relação D = 9a surge da álgebra: (10a + b) - (a + b) = 9a. Isso significa que D é sempre um múltiplo de 9, e como a varia de 1 a 9, os possíveis valores de D são 9, 18, 27, ..., 81. O algarismo das unidades não influencia D; para cada dezena a, existem 10 números (de 10a a 10a+9), mas todos geram o mesmo D.
Esta questão cobra a percepção de que D é sempre múltiplo de 9 e que a soma dos possíveis valores é a soma dos múltiplos de 9 de 9 a 81. A chave é não calcular D para cada número individualmente, mas usar a fórmula geral.
x é um inteiro com 9 < x < 100
D = x - (soma dos algarismos de x)
O que queremos: a soma de todos os possíveis valores de D
Para analisar a diferença D, precisamos de uma representação algébrica de x. Todo número de dois algarismos tem essa forma, onde a é a dezena e b é a unidade.
Por que esta fórmula: É a definição de um número de dois algarismos: o algarismo das dezenas vale 10 vezes o seu valor, e o das unidades vale o próprio valor.
De onde vem cada valor: = enunciado: algarismo das dezenas, de 1 a 9 · = enunciado: algarismo das unidades, de 0 a 9
Esquecer que a é a dezena e b é a unidade, trocando os papéis.
Agora que temos x representado, podemos substituir na definição de D e simplificar.
Por que esta fórmula: D é a diferença entre x e a soma dos algarismos. Substituindo x = 10a + b e a soma = a + b, a subtração cancela b.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: soma dos algarismos
Errar a distribuição do sinal de menos, obtendo 10a + b - a - b = 9a, mas alguns podem escrever 10a - a + b - b = 9a, o que está certo, mas confundir os sinais.
Como D = 9a e a varia de 1 a 9, os valores de D são os múltiplos de 9 nesse intervalo. Precisamos deles para somar.
Por que esta fórmula: Cada valor de a gera um D diferente, e como a é inteiro de 1 a 9, temos 9 valores.
De onde vem cada valor: = passo 2: a varia de 1 a 9
Incluir 90, pensando que a pode ser 10, mas a é algarismo das dezenas, máximo 9.
A questão pede a soma de todos os possíveis valores de D. Temos a lista, agora é somar.
Por que esta fórmula: A soma é uma progressão aritmética de 9 termos, primeiro 9, último 81, razão 9. Podemos usar a fórmula da soma ou fatorar 9.
De onde vem cada valor: = passo 3: fator comum · = passo 3: soma dos números de 1 a 9
Somar diretamente sem fatorar e errar a conta, ou esquecer algum múltiplo.
Resposta: A soma é 405, que está entre 404 e 409 — alternativa C.
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