GabaritoB — 35.
Gabarito: letra B — a conta chega a f⁻¹(8) = 35 — alternativa B.
A função logarítmica é a operação inversa da exponencial: se y = log_b(x), então x = b^y. Ela responde à pergunta 'a que expoente devo elevar a base b para obter x?'. A função inversa de uma função f, indicada por f⁻¹, desfaz o que f faz: se f(x) = y, então f⁻¹(y) = x. Em vez de calcular a expressão da inversa, podemos usar essa relação diretamente.
Para uma função logarítmica f(x) = log_b(ax + b), a relação fundamental é que log_b(u) = v equivale a u = b^v. Isso permite transformar equações logarítmicas em equações exponenciais, que são mais fáceis de resolver. Quando conhecemos dois pontos da função, podemos montar um sistema de equações para descobrir os parâmetros a e b. Depois, para achar f⁻¹(8), basta resolver f(x) = 8, ou seja, log₂(ax + b) = 8, que vira ax + b = 2⁸.
Esta questão exige usar os pontos dados para encontrar a e b, e depois aplicar a definição de logaritmo para resolver f(x) = 8. O passo crítico é transformar cada f(x) = y em uma equação exponencial.
f(5) = 4
f(11) = 6
f(x) = log₂(ax + b)
O que queremos: o valor de f⁻¹(8)
Para descobrir os valores de a e b, precisamos usar as informações dadas. A definição de logaritmo diz que log₂(u) = v implica u = 2^v. Aplicando isso a f(5) = 4, obtemos uma equação simples envolvendo a e b.
Por que esta fórmula: A definição de logaritmo é a ponte entre a forma logarítmica e a exponencial. Sem ela, ficamos presos em logaritmos sem saber como prosseguir.
De onde vem cada valor: = enunciado: f(5) = log₂(5a + b) = 4 · = definição: log₂(u) = 4 ⇒ u = 2^4
Esquecer que log₂(u) = 4 significa u = 2^4, e não u = 4².
Precisamos de duas equações para achar duas incógnitas (a e b). A segunda informação fornecida nos dá a outra equação.
Por que esta fórmula: Mesma definição de logaritmo aplicada ao segundo ponto.
De onde vem cada valor: = enunciado: f(11) = log₂(11a + b) = 6 · = definição: log₂(u) = 6 ⇒ u = 2^6
Confundir 2^6 com 6² = 36, em vez de 64.
Com duas equações lineares, podemos eliminar b subtraindo uma da outra, isolando a.
Por que esta fórmula: Subtrair as equações é o método mais direto para eliminar b, pois os coeficientes de b são iguais.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 1 · = passo 2 · = passo 1
Errar a subtração: 11a - 5a = 6a, mas 64 - 16 = 48, não 40.
Com a conhecido, usamos uma das equações originais para encontrar b.
Por que esta fórmula: Substituir o valor de a na equação do passo 1 isola b.
De onde vem cada valor: = passo 3: a = 8, e o coeficiente 5 vem do passo 1 · = passo 1
Esquecer de subtrair 40 dos dois lados, obtendo b = 56.
f⁻¹(8) é o valor de x tal que f(x) = 8. Agora que conhecemos a e b, podemos escrever essa equação.
Por que esta fórmula: A definição de função inversa: f⁻¹(y) = x ⇔ f(x) = y. Então procuramos x com log₂(8x - 24) = 8.
De onde vem cada valor: = passo 3 e passo 4: a = 8, b = -24, então ax + b = 8x - 24 · = definição: f⁻¹(8) = x ⇔ f(x) = 8
Confundir f⁻¹(8) com f(8), calculando log₂(8·8 - 24) = log₂(40) em vez de resolver a equação.
Para resolver a equação logarítmica, usamos novamente a definição: log₂(u) = 8 implica u = 2⁸.
Por que esta fórmula: É a mesma relação do início, agora aplicada para isolar x.
De onde vem cada valor: = passo 5 · = definição: log₂(u) = 8 ⇒ u = 2^8
Calcular 2^8 como 2·8 = 16 em vez de 256.
Agora é uma equação linear simples: somar 24 e dividir por 8.
Por que esta fórmula: Operações inversas para isolar a incógnita.
De onde vem cada valor: = passo 6 · = passo 6: termo -24 · = passo 5: coeficiente de x
Esquecer de somar 24 antes de dividir, obtendo 256/8 = 32.
Resposta: f⁻¹(8) = 35 — alternativa B
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