GabaritoD — 4 cm.
Gabarito: letra D — a conta chega a 4 cm — alternativa D.
A área total de um cilindro com tampa é a soma da área lateral (o 'papel' que envolve o corpo) com a área das duas bases (o fundo e a tampa). Para um volume fixo, existem infinitos cilindros possíveis: um pode ser baixo e largo, outro alto e fino. O problema pede o que gasta menos material, ou seja, o que tem a menor área total.
A área total é A = 2πrh + 2πr², onde r é o raio da base e h a altura. O volume é V = πr²h. Como o volume está fixo, podemos usar a equação do volume para escrever h em função de r e substituir na área, ficando com uma função só de r. O mínimo dessa função é encontrado derivando e igualando a zero. Para um cilindro com tampa e volume fixo, o mínimo ocorre quando h = 2r, ou seja, a altura é o dobro do raio.
Esta questão cobra exatamente essa otimização: com o volume dado, precisamos encontrar o raio que minimiza a área total e depois calcular a diferença h - r. O passo crucial é não esquecer as duas tampas na área total.
volume fixo = 128π cm³
formato: cilindro reto com tampa
O que queremos: a diferença entre a altura e o raio da base que minimiza a área total (matéria-prima)
A matéria-prima usada é a superfície da lata, então precisamos da fórmula da área total. Como a lata tem tampa, a área é a lateral mais duas bases.
Por que esta fórmula: A área lateral é o perímetro da base (2πr) vezes a altura (h), e cada base é um círculo de área πr². Como são duas bases, somamos 2πr².
De onde vem cada valor: = definição: raio da base do cilindro · = definição: altura do cilindro
Esquecer as duas tampas e usar apenas a área lateral 2πrh — isso leva a uma condição de mínimo diferente e errada.
A área total tem duas variáveis, r e h. Para minimizar, precisamos de uma função de uma variável só. O volume fixo nos dá uma relação entre r e h.
Por que esta fórmula: O volume de um cilindro é a área da base (πr²) vezes a altura (h). Como o volume é 128π, podemos isolar h.
De onde vem cada valor: = enunciado: volume fixo · = definição: área da base do cilindro
Esquecer de simplificar o π — não atrapalha, mas pode confundir na hora de derivar.
Agora que h está em função de r, podemos escrever a área total apenas com r, o que permite derivar e achar o mínimo.
Por que esta fórmula: Substituímos h = 128/r² na área total, simplificando a expressão.
De onde vem cada valor: = passo 1: da área lateral · frac128r^2 = passo 2: altura · = passo 1: das duas bases
Errar a simplificação: 2πr * 128/r² = 256π/r, não 128π/r.
O mínimo de uma função ocorre onde a derivada é zero. Derivamos A(r) em relação a r para encontrar o raio que minimiza a área.
Por que esta fórmula: A derivada de 256π/r é -256π/r², e a derivada de 2πr² é 4πr. Igualar a zero é a condição de ponto crítico.
De onde vem cada valor: -frac256πr^2 = passo 3: derivada de 256π/r · = passo 3: derivada de 2πr²
Esquecer o sinal negativo da derivada de 1/r, o que inverte a equação.
Com a derivada igual a zero, isolamos r para achar o valor que minimiza a área.
Por que esta fórmula: Da equação 4πr = 256π/r², multiplicamos ambos os lados por r² e dividimos por π, obtendo 4r³ = 256, e então r³ = 64.
De onde vem cada valor: = passo 4: 256/4
Esquecer de tirar a raiz cúbica e achar r = 64, ou errar a raiz cúbica de 64.
Com o raio ótimo, usamos a relação do volume para achar a altura que minimiza a área.
Por que esta fórmula: Substituímos r = 4 na expressão h = 128/r².
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 5: 4² = 16
Usar r = 4 mas errar a conta: 128/16 = 8, não 32.
A questão pede a diferença h - r, não o raio nem a altura isoladamente. Com os valores ótimos, basta subtrair.
Por que esta fórmula: Diferença é a subtração direta.
De onde vem cada valor: = passo 6: 8 cm · = passo 5: 4 cm
Marcar a alternativa com o valor do raio (4 cm) em vez da diferença, ou confundir a ordem e calcular r - h = -4.
Resposta: 4 cm — alternativa D
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