Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — VUNESP 2025

Integração de funções racionais e soma de coeficientes

Gabarito: letra E — a soma dos coeficientes dos termos de f, exceto o termo independente, é -385/6. Para chegar a esse valor, é preciso integrar a função racional dada, o que envolve dividir o polinômio do numerador pelo denominador e, em seguida, integrar termo a termo, incluindo o termo que resulta em logaritmo natural.

A questão exige o domínio de duas técnicas principais: a divisão de polinômios e a integração de funções racionais. Vamos por partes.

Primeiro, observe que o integrando é uma fração onde o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (1). Nesses casos, o primeiro passo é efetuar a divisão polinomial para transformar a fração em um polinômio somado a uma fração própria (onde o grau do numerador é menor que o do denominador).

Dividindo $y^3+8y^2-2y-8$ por $y+9$, obtemos:

• $y^3 \div y = y^2$

• $y^2 \cdot (y+9) = y^3 + 9y^2$

• Subtraindo: $(y^3+8y^2) - (y^3+9y^2) = -y^2$

• Baixando o próximo termo: $-y^2 - 2y$

• $-y^2 \div y = -y$

• $-y \cdot (y+9) = -y^2 - 9y$

• Subtraindo: $(-y^2 - 2y) - (-y^2 - 9y) = 7y$

• Baixando o próximo termo: $7y - 8$

• $7y \div y = 7$

• $7 \cdot (y+9) = 7y + 63$

• Subtraindo: $(7y - 8) - (7y + 63) = -71$

Portanto, a divisão resulta em:

Agora, integramos termo a termo:

A função $f$ é dada por $x = f(y)$, então os termos de $f$ são: $\frac{y^3}{3}$, $-\frac{y^2}{2}$, $7y$, $-71\ln|y+9|$ e a constante $C$. O termo independente é a constante $C$. A soma dos coeficientes dos termos, exceto o termo independente, é:

Portanto, a soma é $-\frac{385}{6}$, que corresponde à alternativa E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $-\frac{379}{6}$ é próximo do correto, mas difere por $\frac{6}{6} = 1$. Isso sugere que o candidato pode ter errado no coeficiente do termo logarítmico (talvez usando $-70$ em vez de $-71$) ou no coeficiente do termo linear (talvez usando $6$ em vez de $7$). O cálculo correto é $-\frac{385}{6}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{467}{6}$ é positivo, enquanto a soma correta é negativa. Isso indica que o candidato pode ter somado os coeficientes sem considerar os sinais negativos dos termos $-\frac{y^2}{2}$ e $-71\ln|y+9|$, ou pode ter errado na divisão polinomial, obtendo um quociente diferente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{41}{6}$ é positivo e muito menor em magnitude. Isso sugere que o candidato pode ter esquecido de incluir o coeficiente do termo logarítmico ($-71$) na soma, considerando apenas os coeficientes $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 7 = \frac{41}{6}$. No entanto, o termo $-71\ln|y+9|$ também é um termo da função e seu coeficiente deve ser incluído.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{47}{6}$ é positivo e próximo de $\frac{41}{6}$, mas difere por $\frac{6}{6} = 1$. Isso pode indicar que o candidato errou no coeficiente do termo linear (usando $8$ em vez de $7$) ou no coeficiente do termo quadrático (usando $\frac{1}{3}$ de forma incorreta). O cálculo correto é $-\frac{385}{6}$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A soma dos coeficientes dos termos de $f$, exceto o termo independente, é $-\frac{385}{6}$. Isso é obtido somando os coeficientes de $\frac{y^3}{3}$, $-\frac{y^2}{2}$, $7y$ e $-71\ln|y+9|$, que são $\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{2}$, $7$ e $-71$, respectivamente. A soma é $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 7 - 71 = -\frac{385}{6}$.

Gabarito: letra E