Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219200
Banca
VUNESP
Órgão
EsFCEx
Ano
2025
Cargo
CFO/QC ( )
Em um grupo com 7 oficiais docentes com a mesma patente, todos atuando nas salas de aula Alfa e Bravo, um deles será sorteado para ser o coordenador da sala Alfa, e outro será sorteado para ser o seu vice. Após esses sorteios, um terceiro oficial será sorteado para ser o coordenador da sala de aula Bravo, e um quarto oficial será sorteado para ser o seu vice. Supondo-se aleatórios esses sorteios, independentemente da antiguidade na patente, e não podendo haver acúmulo de representação, o número total de possibilidades para coordenador e vice dessas duas turmas é
A1 680.
B840.
C420.
D105.
E210.
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GabaritoB — 840.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 840 possibilidades — alternativa B.
A ideia por trás
O princípio fundamental da contagem (PFC) é a ferramenta para contar quantas combinações de escolhas existem quando um processo acontece em etapas sucessivas. A ideia é simples: se a primeira etapa tem n₁ opções, a segunda n₂, e assim por diante, o total é o produto n₁ × n₂ × … . Ele serve para qualquer situação em que cada escolha é feita uma depois da outra, como sortear pessoas para cargos diferentes.
Quando as escolhas são feitas sem reposição — ou seja, uma pessoa já escolhida não pode ser escolhida de novo — o número de opções diminui a cada etapa. Se temos 7 pessoas e vamos escolher 4 cargos distintos, a primeira escolha tem 7 opções, a segunda 6, a terceira 5 e a quarta 4. O total é o produto 7 × 6 × 5 × 4. Isso é exatamente o que chamamos de arranjo simples, mas o PFC dispensa decorar a fórmula: basta multiplicar as opções de cada etapa.
Esta questão pede exatamente isso: contar as possibilidades de preencher quatro cargos distintos com quatro pessoas diferentes, uma de cada vez. O ponto crítico é lembrar que, como não pode haver acúmulo, cada escolha reduz o número de candidatos disponíveis.
O que queremos: o número total de maneiras de escolher os quatro ocupantes dos cargos
Passo 1 — Escolher o coordenador da sala Alfa
O sorteio começa pelo coordenador de Alfa. Nesse momento, todos os 7 oficiais estão disponíveis, então há 7 possibilidades. Essa é a primeira etapa do processo.
Por que esta fórmula: Não há fórmula: é a contagem direta das opções disponíveis.
NÃO CAIA NESSA!
Nenhum erro comum aqui, mas é importante registrar que essa escolha reduz o total para as próximas etapas.
Passo 2 — Escolher o vice da sala Alfa
O vice de Alfa não pode ser a mesma pessoa que já foi escolhida como coordenador, então restam 6 oficiais. Essa é a segunda etapa.
Por que esta fórmula: Novamente, é contagem direta: 6 opções restantes.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que o coordenador de Alfa já foi escolhido e contar 7 de novo — isso levaria a um total errado.
Passo 3 — Escolher o coordenador da sala Bravo
Agora já foram escolhidas duas pessoas, então restam 5 oficiais para o cargo de coordenador de Bravo. Essa é a terceira etapa.
Por que esta fórmula: Contagem direta: 5 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Contar 7 ou 6 novamente, ignorando as escolhas anteriores.
Passo 4 — Escolher o vice da sala Bravo
Por fim, restam 4 oficiais para o último cargo. Essa é a quarta e última etapa.
Por que esta fórmula: Contagem direta: 4 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que já foram escolhidas três pessoas e contar 7, 6 ou 5.
Passo 5 — Multiplicar as possibilidades de cada etapa
Pelo princípio fundamental da contagem, o total de combinações é o produto das opções de cada etapa. Como as escolhas são sucessivas e independentes, multiplicamos 7 × 6 × 5 × 4.
Por que esta fórmula: O PFC afirma que o número total de resultados de um processo em etapas é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, cada etapa é uma escolha de uma pessoa para um cargo distinto.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 2 · = passo 3 · = passo 4
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar todas as etapas, ou multiplicar apenas as duas primeiras (7 × 6 = 42) e esquecer as outras duas.