Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025

Razões entre áreas de figuras planas

Gabarito: letra E. A razão $Q/T$ é a única que é, necessariamente, um número irracional, pois $Q = \frac{n^2}{2}$ e $T = \frac{m^2\sqrt{3}}{4}$, de modo que $\frac{Q}{T} = \frac{2n^2}{m^2\sqrt{3}} = \frac{2n^2\sqrt{3}}{3m^2}$, que contém o fator irracional $\sqrt{3}$ no numerador, independentemente dos valores inteiros de $m$ e $n$. As demais razões podem ser racionais para escolhas adequadas de $m$ e $n$.

O problema envolve o cálculo de áreas de figuras planas — triângulo equilátero, quadrado e retângulo — e a análise da natureza (racional ou irracional) das razões entre essas áreas. Para resolvê-lo, precisamos expressar cada área em função das medidas dadas e, em seguida, analisar cada razão proposta.

Área do triângulo equilátero (T):

Um triângulo equilátero de lado $m$ tem área dada por:

Essa fórmula vem da decomposição do triângulo equilátero em dois triângulos retângulos, onde a altura é $h = \frac{m\sqrt{3}}{2}$, e a área é $\frac{base \times altura}{2} = \frac{m \cdot \frac{m\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{m^2\sqrt{3}}{4}$.

Área do quadrado (Q):

Um quadrado com diagonais medindo $n$ tem lado $\ell = \frac{n\sqrt{2}}{2}$, pois a diagonal de um quadrado de lado $\ell$ é $d = \ell\sqrt{2}$. Assim, a área é:

Área do retângulo (R):

Um retângulo tem um lado medindo $m$ e diagonais medindo $n$. Se o outro lado é $x$, então, pelo teorema de Pitágoras, $m^2 + x^2 = n^2$, logo $x = \sqrt{n^2 - m^2}$. A área é:

Agora, analisemos cada razão:

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{R}{Q} = \frac{m\sqrt{n^2 - m^2}}{n^2/2} = \frac{2m\sqrt{n^2 - m^2}}{n^2}$. Essa razão pode ser racional. Por exemplo, se $m = 3$ e $n = 5$, então $\sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$, e $\frac{R}{Q} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{25} = \frac{24}{25}$, que é racional. Portanto, não é necessariamente irracional.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{T}{R} = \frac{m^2\sqrt{3}/4}{m\sqrt{n^2 - m^2}} = \frac{m\sqrt{3}}{4\sqrt{n^2 - m^2}}$. Essa razão pode ser racional. Por exemplo, se $m = 3$ e $n = 5$, então $\sqrt{25 - 9} = 4$, e $\frac{T}{R} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$, que é irracional. Mas se $m = 2$ e $n = 4$, então $\sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, e $\frac{T}{R} = \frac{2\sqrt{3}}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{1}{4}$, que é racional. Portanto, não é necessariamente irracional.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{7}{T^2} = \frac{7}{(m^2\sqrt{3}/4)^2} = \frac{7}{m^4 \cdot 3/16} = \frac{112}{3m^4}$. Como $m$ é inteiro, $m^4$ é inteiro, e a razão é um número racional (quociente de inteiros). Portanto, nunca é irracional.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{Q^2}{3} = \frac{(n^2/2)^2}{3} = \frac{n^4/4}{3} = \frac{n^4}{12}$. Como $n$ é inteiro, $n^4$ é inteiro, e a razão é um número racional. Portanto, nunca é irracional.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{Q}{T} = \frac{n^2/2}{m^2\sqrt{3}/4} = \frac{n^2}{2} \cdot \frac{4}{m^2\sqrt{3}} = \frac{2n^2}{m^2\sqrt{3}} = \frac{2n^2\sqrt{3}}{3m^2}$. Como $m$ e $n$ são inteiros, $\frac{2n^2}{3m^2}$ é um número racional, mas multiplicado por $\sqrt{3}$ (irracional) resulta em um número irracional, pois o produto de um racional não nulo por um irracional é sempre irracional. Portanto, $\frac{Q}{T}$ é necessariamente irracional.

Gabarito: letra E