GabaritoC — (–2, –14).
Gabarito: letra C. O vetor (–2, 4) é a combinação linear –2·v₁ + 6·v₂, e como T é linear, T(–2, 4) = –2·T(v₁) + 6·T(v₂) = –2·(1,1) + 6·(–2)·(0,1) = (–2, –14). A chave é expressar o vetor pedido na base formada pelos autovetores e aplicar a propriedade T(v) = λ·v em cada parcela.
O conceito central aqui é o de autovetor e autovalor de um operador linear. Um vetor não nulo v é autovetor do operador T se a imagem T(v) for um múltiplo escalar dele mesmo, ou seja, se existir um número λ tal que T(v) = λ·v. Esse número λ é o autovalor associado. Em outras palavras, o operador, quando aplicado a um autovetor, apenas "estica" ou "encolhe" o vetor, mantendo sua direção (ou invertendo, se λ for negativo).
A propriedade que resolve a questão é a linearidade do operador: T(a·u + b·w) = a·T(u) + b·T(w). Como v₁ e v₂ são autovetores, sabemos exatamente o que T faz com eles: T(v₁) = 1·v₁ = (1,1) e T(v₂) = –2·v₂ = (0,–2). O passo crucial é escrever o vetor alvo (–2, 4) como combinação linear de v₁ e v₂. Precisamos encontrar escalares a e b tais que a·(1,1) + b·(0,1) = (–2, 4). Isso gera o sistema:
a = –2 (da primeira coordenada) a + b = 4 (da segunda coordenada)
Substituindo a = –2 na segunda equação, obtemos –2 + b = 4, logo b = 6. Portanto, (–2, 4) = –2·v₁ + 6·v₂.
Agora aplicamos a linearidade:
T(–2, 4) = T(–2·v₁ + 6·v₂) = –2·T(v₁) + 6·T(v₂) = –2·(1,1) + 6·(–2)·(0,1) = (–2, –2) + (0, –12) = (–2, –14).
A pegadinha que a banca explora é justamente a necessidade de decompor o vetor na base dos autovetores. O candidato apressado pode tentar aplicar T diretamente nas coordenadas (–2, 4) como se fosse uma multiplicação por escalar, ou pode errar na resolução do sistema linear. Outro erro comum é esquecer de multiplicar o autovetor pelo autovalor correspondente ao aplicar T. Guarde o método: escreva o vetor como combinação dos autovetores, aplique T em cada parcela multiplicando pelo autovalor, e some.
Caso | Atribuição (a, b) | Resultado de T(–2, 4) |
|---|---|---|
Correto | a = –2, b = 6 | (–2, –14) |
Erro de sinal em a | a = 2, b = 6 | (2, –14) |
Erro em T(v₂) | a = –2, b = 6, mas T(v₂) = (0, –8/6) | (–2, –10) |
Erros combinados | a = 2, b = 6, T(v₂) = (0, –8/6) | (2, –8) |
O valor (2, –10) tem a primeira coordenada com sinal trocado. Isso sugere que o candidato errou o sinal de a na combinação linear (usou a = 2 em vez de a = –2) ou aplicou T(v₁) = –(1,1) em vez de T(v₁) = (1,1). O cálculo correto, como demonstrado, resulta em (–2, –14).
O valor (–2, –10) acerta a primeira coordenada, mas erra a segunda. Provavelmente o candidato calculou T(v₂) corretamente como (0, –2), mas ao somar –2·(1,1) + 6·(0,–2) cometeu um erro de sinal ou de multiplicação, obtendo –2 + (–8) = –10 em vez de –2 + (–12) = –14. A segunda coordenada de T(v₂) é –2, e multiplicada por 6 resulta em –12, não –8.
Como calculado: (–2, 4) = –2·v₁ + 6·v₂. Aplicando a linearidade e a definição de autovetor, T(–2, 4) = –2·(1,1) + 6·(–2)·(0,1) = (–2, –2) + (0, –12) = (–2, –14). A alternativa espelha exatamente o resultado da combinação linear correta.
O valor (2, –14) acerta a segunda coordenada, mas erra a primeira. Isso indica que o candidato usou a = 2 em vez de a = –2 na decomposição, ou seja, escreveu (–2, 4) = 2·v₁ + 6·v₂, o que é falso, pois 2·(1,1) + 6·(0,1) = (2, 8), não (–2, 4). O erro está na resolução do sistema linear.
O valor (2, –8) erra ambas as coordenadas. Provavelmente o candidato usou a = 2 (erro de sinal) e também errou o cálculo de T(v₂), talvez usando λ₂ = 2 em vez de –2, ou multiplicando 6·(0,–2) incorretamente. O resultado correto é (–2, –14).
Gabarito: letra C
Link permanente: /questoes/vu219202