Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Plano tangente e vetor normal

Gabarito: letra A. O vetor normal ao plano tangente de $z=f(x,y)$ no ponto $(1,1,f(1,1))$ é dado por $\vec{n} = (f_x(1,1), f_y(1,1), -1)$. Calculando as derivadas parciais de $f(x,y)=3x^2y + \frac{x^3}{y^2} + \ln(xy^2)$ e avaliando em $(1,1)$, obtemos $f_x(1,1)=10$ e $f_y(1,1)=3$, resultando em $\vec{n}=(10,3,-1)$.

O que é o plano tangente e seu vetor normal

Quando temos uma função de duas variáveis $z = f(x,y)$, o gráfico dela é uma superfície no espaço tridimensional. Em um ponto específico $(x_0, y_0, z_0)$ dessa superfície, o plano tangente é o plano que melhor "encosta" na superfície naquele ponto, ou seja, é o plano que contém todas as retas tangentes às curvas da superfície que passam por aquele ponto. É a generalização da reta tangente para funções de uma variável.

O vetor normal a esse plano é um vetor perpendicular a ele. Para encontrar esse vetor, usamos as derivadas parciais da função. A equação do plano tangente no ponto $(x_0, y_0, z_0)$ é:

Reorganizando os termos, podemos escrever:

Essa equação tem a forma $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$, onde o vetor $(a, b, c)$ é perpendicular ao plano. Comparando, vemos que $a = f_x(x_0, y_0)$, $b = f_y(x_0, y_0)$ e $c = -1$. Portanto, o vetor normal é:

Aplicando ao problema

Vamos calcular as derivadas parciais de $f(x,y)=3x^2y + \frac{x^3}{y^2} + \ln(xy^2)$.

Derivada parcial em relação a $x$:

• $\frac{\partial}{\partial x}(3x^2y) = 6xy$

• $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^3}{y^2}\right) = \frac{3x^2}{y^2}$

• $\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy^2) = \frac{1}{xy^2} \cdot y^2 = \frac{1}{x}$

Portanto, $f_x(x,y) = 6xy + \frac{3x^2}{y^2} + \frac{1}{x}$.

Avaliando em $(1,1)$:

Derivada parcial em relação a $y$:

• $\frac{\partial}{\partial y}(3x^2y) = 3x^2$

• $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^3}{y^2}\right) = x^3 \cdot (-2)y^{-3} = -\frac{2x^3}{y^3}$

• $\frac{\partial}{\partial y}\ln(xy^2) = \frac{1}{xy^2} \cdot 2xy = \frac{2}{y}$

Portanto, $f_y(x,y) = 3x^2 - \frac{2x^3}{y^3} + \frac{2}{y}$.

Avaliando em $(1,1)$:

Assim, o vetor normal é $\vec{n} = (10, 3, -1)$.

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre o vetor normal e o vetor com a terceira componente positiva. Muitos candidatos, ao montar a equação do plano tangente, esquecem de passar o termo $z$ para o lado esquerdo com sinal negativo, resultando em $c = +1$ em vez de $c = -1$. Isso leva à alternativa C, que é o distrator clássico.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O vetor normal é $\vec{n} = (f_x(1,1), f_y(1,1), -1) = (10, 3, -1)$. A terceira componente é $-1$ porque, na equação do plano tangente $f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) - (z-z_0) = 0$, o coeficiente de $z$ é $-1$. Portanto, a alternativa A está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta $\vec{n}=(10,-3,-1)$. O erro está na segunda componente: $f_y(1,1) = 3$, não $-3$. O candidato pode ter errado o sinal ao derivar o termo $\frac{x^3}{y^2}$, esquecendo que a derivada de $y^{-2}$ é $-2y^{-3}$, o que daria $-2$ no ponto, mas o termo $+\frac{2}{y}$ contribui com $+2$, resultando em $3 - 2 + 2 = 3$. Portanto, a segunda componente é positiva.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta $\vec{n}=(10,3,1)$. O erro está na terceira componente: deveria ser $-1$, não $+1$. Isso ocorre quando o candidato escreve a equação do plano tangente como $z - z_0 = f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)$ e não a reorganiza para a forma $f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0) - (z-z_0) = 0$, esquecendo que o coeficiente de $z$ é $-1$. É o distrator mais comum.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta $\vec{n}=(-5,6,-1)$. Os valores estão completamente errados. O candidato pode ter errado as derivadas parciais, talvez derivando incorretamente o termo $\ln(xy^2)$ ou esquecendo de aplicar a regra do quociente em $\frac{x^3}{y^2}$. Os valores corretos são $f_x(1,1)=10$ e $f_y(1,1)=3$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta $\vec{n}=(-5,-6,-1)$. Assim como a D, os valores estão incorretos. Além disso, a segunda componente é negativa, o que contraria o cálculo correto $f_y(1,1)=3$. O candidato pode ter errado os sinais das derivadas parciais.

Gabarito: letra A