Questão de Matemática — Álgebra linear avançada (vetores, matrizes e espaços vetoriais) — VUNESP 2025

Subespaço vetorial definido por sistema homogêneo

Gabarito: letra D. O subespaço $W$ é o conjunto solução de um sistema linear homogêneo com três equações e três incógnitas. Resolvendo o sistema, obtém-se que a única solução é o vetor nulo, ou seja, $W = \{(0,0,0)\}$. Portanto, uma base para $W$ é o conjunto vazio, e nenhuma das alternativas apresenta uma base correta. A alternativa D, $\{(–1,1,2)\}$, é a que mais se aproxima de um vetor que satisfaz as equações, mas não gera $W$.

O subespaço vetorial $W$ é definido como o conjunto de todos os vetores $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ que satisfazem simultaneamente as três equações lineares homogêneas:

Para encontrar uma base de $W$, precisamos determinar o conjunto solução desse sistema. Como o sistema é homogêneo, ele sempre tem pelo menos a solução trivial $(0,0,0)$. A questão é se existem outras soluções, ou seja, se o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções) ou possível e determinado (solução única).

Vamos resolver o sistema. Da segunda equação, temos $z = -2x$. Substituindo na primeira equação:

Agora, substituindo $z = -2x$ e $y = -x$ na terceira equação:

A terceira equação é uma combinação linear das duas primeiras, o que significa que o sistema tem infinitas soluções. O conjunto solução é unidimensional, gerado pelo vetor $(-1, 1, 2)$. Portanto, uma base para $W$ é $\{(-1, 1, 2)\}$, que corresponde à alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O vetor $(-1, -1, -2)$ não satisfaz a primeira equação: $(-1) - (-1) + (-2) = -1 + 1 - 2 = -2 \neq 0$. Portanto, não pertence a $W$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O vetor $(-1, -1, 2)$ não satisfaz a segunda equação: $2(-1) + 2 = -2 + 2 = 0$, mas na primeira: $(-1) - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2 \neq 0$. Portanto, não pertence a $W$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O vetor $(-1, -4, 2)$ não satisfaz a primeira equação: $(-1) - (-4) + 2 = -1 + 4 + 2 = 5 \neq 0$. Portanto, não pertence a $W$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O vetor $(-1, 1, 2)$ satisfaz todas as equações: na primeira, $(-1) - 1 + 2 = 0$; na segunda, $2(-1) + 2 = 0$; na terceira, $(-1) - 3(1) + 2(2) = -1 - 3 + 4 = 0$. Além disso, como o sistema tem infinitas soluções, o conjunto solução é gerado por esse vetor, que é linearmente independente (não nulo). Portanto, $\{(-1, 1, 2)\}$ é uma base para $W$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O vetor $(-1, 4, -2)$ não satisfaz a primeira equação: $(-1) - 4 + (-2) = -1 - 4 - 2 = -7 \neq 0$. Portanto, não pertence a $W$.

Gabarito: letra D