Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — VUNESP 2025

Integral dupla em coordenadas polares

Gabarito: letra B — a integral vale $\frac{38\pi}{3}$. A região $D$ é a coroa circular entre os círculos de raios 2 e 3, e o integrando $\sqrt{x^2+y^2}$ vira simplesmente $r$ em coordenadas polares, o que torna a integral imediata: $\int_0^{2\pi}\int_2^3 r\cdot r\,dr\,d\theta = \frac{38\pi}{3}$.

A ideia por trás

Quando a região de integração é limitada por círculos centrados na origem e o integrando envolve $x^2+y^2$, a mudança para coordenadas polares é o caminho natural. Em coordenadas polares, $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$, de modo que $x^2+y^2 = r^2$. Além disso, o elemento de área $dA = dx\,dy$ se transforma em $r\,dr\,d\theta$ — esse $r$ extra é o jacobiano da transformação, o fator que corrige a distorção de área quando passamos do plano cartesiano para o polar.

A região $D$ é a coroa circular: todos os pontos cuja distância à origem está entre 2 e 3. Em coordenadas polares, isso se traduz em $2 \le r \le 3$ e $0 \le \theta \le 2\pi$. O integrando $\sqrt{x^2+y^2}$ se torna $\sqrt{r^2} = r$ (pois $r \ge 0$ na região).

Resolução passo a passo

1. Mudança de variáveis: $\sqrt{x^2+y^2} = r$ e $dA = r\,dr\,d\theta$.

2. Limites de integração: $r$ varia de 2 a 3; $\theta$ varia de 0 a $2\pi$.

3. Montagem da integral:

   $\iint_D \sqrt{x^2+y^2}\,dA = \int_0^{2\pi}\int_2^3 r \cdot r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\int_2^3 r^2\,dr\,d\theta$

4. Integral interna (em $r$):

   $\int_2^3 r^2\,dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_2^3 = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}$

5. Integral externa (em $\theta$):

   $\int_0^{2\pi} \frac{19}{3}\,d\theta = \frac{19}{3} \cdot 2\pi = \frac{38\pi}{3}$

Portanto, o valor da integral é $\frac{38\pi}{3}$, que corresponde à letra B.

Por que os outros números aparecem?

Os distratores exploram erros comuns de cálculo. Se o aluno esquecer o jacobiano $r$ e integrar apenas $\sqrt{x^2+y^2} = r$ com $dA = dr\,d\theta$, obtém $\int_0^{2\pi}\int_2^3 r\,dr\,d\theta = 5\pi$, que não está nas alternativas. Se errar a primitiva de $r^2$ (usando $r^2/2$ em vez de $r^3/3$), chega a $\frac{5}{2} \cdot 2\pi = 5\pi$, também fora. O número $\frac{38\pi}{5}$ (letra A) surge se o aluno inverter os limites ($r$ de 3 a 2) e errar o sinal, ou se confundir a primitiva. Já $19\pi$ (letra D) é o dobro de $\frac{19\pi}{2}$ (letra C), que por sua vez é metade do resultado correto — erros típicos de esquecer o fator 2 ou multiplicar por $\pi$ em vez de $2\pi$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{38\pi}{5}$: este valor não corresponde a nenhum erro comum de cálculo direto. Se o aluno errasse a primitiva de $r^2$ como $\frac{r^3}{5}$ (inventando o denominador), chegaria a $\frac{19}{5} \cdot 2\pi = \frac{38\pi}{5}$. É um distrator puro, sem lógica matemática subjacente — apenas um número próximo do correto para confundir.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{38\pi}{3}$: é exatamente o resultado da integral $\int_0^{2\pi}\int_2^3 r^2\,dr\,d\theta$. A integral interna vale $\frac{19}{3}$ e a externa multiplica por $2\pi$, resultando em $\frac{38\pi}{3}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{19\pi}{2}$: este valor é metade do resultado correto. Surge se o aluno integrar $\int_0^{\pi}\int_2^3 r^2\,dr\,d\theta$, ou seja, considerar apenas metade do círculo ($\theta$ de 0 a $\pi$) em vez do círculo completo ($0$ a $2\pi$). É um erro de limite angular.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$19\pi$: este valor é o dobro de $\frac{19\pi}{2}$ e corresponde a $\frac{19}{3} \cdot 3\pi$. Se o aluno usasse $\theta$ de 0 a $3\pi$ (erro de limite) ou multiplicasse por 3 em vez de 2, chegaria a esse número. Também pode surgir de $\frac{19}{3} \cdot \frac{9\pi}{3}$, uma confusão com o raio externo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$38\pi$: este valor é o triplo de $\frac{38\pi}{3}$ e o dobro de $19\pi$. Se o aluno integrasse $\int_0^{2\pi}\int_2^3 r^2\,dr\,d\theta$ mas errasse a primitiva como $r^3$ (sem dividir por 3), obteria $19 \cdot 2\pi = 38\pi$. É o erro clássico de esquecer a divisão pela potência na primitiva.

Gabarito: letra B