Questão de Matemática — Equações diferenciais ordinárias — VUNESP 2025

Equações Diferenciais Ordinárias: Solução Geral por Separação de Variáveis

Gabarito: letra C. A equação $(y+1)dx - (x^2+1)dy = 0$ é uma EDO de primeira ordem separável; separando as variáveis e integrando, obtém-se $\ln|y+1| = \arctg(x) + k$, o que resulta em $y = e^{\arctg(x)+k} - 1$ — exatamente a alternativa C. O passo decisivo é reconhecer que a equação pode ser reescrita como $\frac{dy}{y+1} = \frac{dx}{x^2+1}$ e que a integral de $\frac{1}{x^2+1}$ é $\arctg(x)$.

Uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem é dita separável quando pode ser escrita na forma $M(x)dx + N(y)dy = 0$, ou seja, quando é possível isolar de um lado da igualdade tudo que depende de $x$ e do outro tudo que depende de $y$. A equação dada, $(y+1)dx - (x^2+1)dy = 0$, se encaixa perfeitamente nesse formato: basta rearranjar os termos para obter $(y+1)dx = (x^2+1)dy$ e, em seguida, dividir ambos os lados por $(y+1)(x^2+1)$, o que nos dá $\frac{dy}{y+1} = \frac{dx}{x^2+1}$. Esse é o coração da questão: a partir daqui, a solução é obtida integrando cada lado separadamente.

Integrando o lado esquerdo, temos $\int \frac{dy}{y+1} = \ln|y+1| + C_1$. Integrando o lado direito, $\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctg(x) + C_2$. Igualando as duas integrais (as constantes podem ser agrupadas em uma única constante $k$), obtemos $\ln|y+1| = \arctg(x) + k$. Para explicitar $y$, aplicamos a exponencial em ambos os lados: $|y+1| = e^{\arctg(x)+k}$. Como a constante $k$ pode absorver o sinal (a menos que $y+1$ seja sempre negativo, o que é coberto pela constante), escrevemos $y+1 = e^{\arctg(x)+k}$ e, finalmente, $y = e^{\arctg(x)+k} - 1$.

A pegadinha clássica dessa questão é a posição da constante $k$. Muitos candidatos, ao integrar, escrevem $\ln|y+1| = \arctg(x) + k$ e, ao aplicar a exponencial, fazem $y+1 = e^{\arctg(x)} + k$ (somando $k$ fora da exponencial), o que está errado. A constante $k$ deve permanecer dentro do expoente, pois ela surge da constante de integração que é somada ao logaritmo, e não à função $y$ diretamente. A alternativa B, por exemplo, apresenta exatamente esse erro: $y = e^{\arctg(x)} + k$. Já a alternativa A, $y = k \cdot e^{\arctg(x)} - 1$, também está incorreta, pois a constante multiplicativa $k$ não é a forma correta de representar a constante de integração nesse caso — ela só apareceria se a integral de $\frac{1}{y+1}$ fosse $\ln|k(y+1)|$, o que não é o procedimento padrão.

Outra distinção importante é entre $\arctg(x)$ e $\tg(x)$. A integral de $\frac{1}{x^2+1}$ é $\arctg(x)$ (a função inversa da tangente), e não $\tg(x)$. As alternativas D e E trocam $\arctg(x)$ por $\tg(x)$, o que é um erro conceitual grave: a derivada de $\tg(x)$ é $\sec^2(x)$, e não $\frac{1}{x^2+1}$. Portanto, a solução correta envolve a função arco-tangente, e não a tangente.

Guarde o critério decisivo: a constante de integração $k$ fica dentro do expoente da exponencial, e a função que aparece é $\arctg(x)$, não $\tg(x)$. É exatamente nesses dois pontos que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $y = k \cdot e^{\arctg(x)} - 1$, com a constante $k$ multiplicando a exponencial. Isso não corresponde à solução obtida por separação de variáveis: a constante de integração surge como $+k$ dentro do expoente, e não como um fator multiplicativo. A forma $k \cdot e^{\arctg(x)}$ seria a solução de uma equação como $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x^2+1}$, mas não é o caso aqui, pois a equação original tem $y+1$ no numerador, e não apenas $y$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $y = e^{\arctg(x)} + k$, com a constante $k$ somada fora da exponencial. Esse é o erro mais comum: ao integrar $\ln|y+1| = \arctg(x) + k$, o candidato aplica a exponencial apenas no primeiro termo, esquecendo que a constante também está dentro do expoente. O correto é $y+1 = e^{\arctg(x)+k}$, o que leva a $y = e^{\arctg(x)+k} - 1$. A alternativa B confunde a constante de integração com uma constante aditiva simples, o que é um erro de manipulação algébrica.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $y = e^{\arctg(x)+k} - 1$, que é exatamente a solução geral obtida: separando as variáveis, integrando e isolando $y$, chegamos a $\ln|y+1| = \arctg(x) + k$, e portanto $y = e^{\arctg(x)+k} - 1$. A constante $k$ está corretamente posicionada dentro do expoente, e a função $\arctg(x)$ é a integral correta de $\frac{1}{x^2+1}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $y = k \cdot \arctg(x) - 1$, trocando a exponencial por uma multiplicação pela constante $k$ e usando $\arctg(x)$ como se fosse uma função linear. Isso não decorre da integração: a solução envolve a exponencial de $\arctg(x)$, não o produto de $k$ por $\arctg(x)$. A constante $k$ não pode ser multiplicada diretamente pela função, pois ela surge dentro do logaritmo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $y = \arctg(x) - 1 + k$, que também troca a exponencial por uma soma simples e usa $\arctg(x)$ diretamente. Além do erro da exponencial, a constante $k$ é somada fora da função, o que não corresponde à solução. A forma correta exige que $\arctg(x)$ esteja no expoente de $e$, e que a constante $k$ esteja dentro desse expoente.

A regra de ouro para questões de EDO separável: isole as variáveis, integre cada lado, e ao explicitar a função, lembre-se de que a constante de integração acompanha o logaritmo e, portanto, entra no expoente da exponencial. Com esse cuidado, você evita os erros das alternativas A, B, D e E.

Gabarito: letra C