Questão de Matemática — Transformadas e séries — VUNESP 2025

Séries numéricas: convergência e divergência

Gabarito: letra E — a primeira série converge (termo geral decai exponencialmente), a segunda diverge (termo geral cresce sem limite) e a terceira converge (termo geral tende a zero com rapidez suficiente). A classificação correta é: convergente, divergente e convergente.

O estudo de séries numéricas busca determinar se a soma infinita de termos de uma sequência tem um valor finito (convergente) ou cresce sem limite (divergente). Para isso, existem vários critérios — o teste do termo geral, o teste da razão, o teste da raiz, a comparação com séries conhecidas — e a escolha do critério certo depende do formato do termo geral. Nesta questão, cada série pede um critério diferente, e é exatamente essa variedade que a banca explora.

Vamos analisar cada série com o critério adequado:

Primeira série: $a = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2n^2}{e^{3n}}$. O termo geral é $a_n = \frac{2n^2}{e^{3n}}$. Aqui, o numerador é um polinômio ($2n^2$) e o denominador é uma exponencial ($e^{3n}$). A exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, então o termo geral tende a zero rapidamente. O teste da razão é o mais direto: calculamos $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$. Temos $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2(n+1)^2}{e^{3(n+1)}} \cdot \frac{e^{3n}}{2n^2} = \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{e^3}$. O limite de $\frac{(n+1)^2}{n^2}$ é 1, então o limite total é $\frac{1}{e^3} \approx 0,0498 < 1$. Como o limite é menor que 1, a série converge.

Segunda série: $b = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{6n}$. O termo geral é $b_n = \frac{n!}{6n}$. O fatorial $n!$ cresce mais rápido que qualquer exponencial ou polinômio. O teste do termo geral é imediato: se o termo geral não tende a zero, a série diverge. Aqui, $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{6n} = +\infty$ (o fatorial domina o denominador linear). Como o limite não é zero, a série diverge.

Terceira série: $c = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{n}{3n+1} \right)^n$. O termo geral é $c_n = \left( \frac{n}{3n+1} \right)^n$. O teste da raiz é o mais adequado: calculamos $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3n+1} = \frac{1}{3} < 1$. Como o limite é menor que 1, a série converge.

A pegadinha desta questão está em aplicar o critério errado a cada série. Por exemplo, tentar o teste do termo geral na primeira série não resolve (o termo tende a zero, mas isso não garante convergência). O candidato precisa reconhecer qual critério é eficiente para cada formato de termo geral.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que todas as três séries são divergentes. Isso é falso: a primeira e a terceira convergem, como demonstrado pelos testes da razão e da raiz. A banca tenta induzir o candidato a achar que qualquer série com termo geral complicado diverge, mas o decaimento exponencial e a potência $n$ garantem convergência.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a primeira diverge, a segunda converge e a terceira converge. O erro está na primeira série (que converge) e na segunda (que diverge). A banca inverte os resultados da primeira e da segunda, provavelmente para confundir quem aplica o teste do termo geral de forma apressada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que todas as três séries convergem. O erro está na segunda série: o termo geral $\frac{n!}{6n}$ cresce sem limite, então a série diverge pelo teste do termo geral. A banca tenta fazer o candidato acreditar que o fatorial no numerador é "compensado" pelo denominador, o que não ocorre.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a primeira converge, a segunda converge e a terceira diverge. O erro está na segunda série (que diverge) e na terceira (que converge). A banca inverte o resultado da terceira série, que converge pelo teste da raiz com limite $\frac{1}{3}$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a primeira converge, a segunda diverge e a terceira converge. É exatamente o que os testes demonstram: a primeira converge pelo teste da razão (limite $\frac{1}{e^3} < 1$), a segunda diverge pelo teste do termo geral (limite $+\infty$) e a terceira converge pelo teste da raiz (limite $\frac{1}{3} < 1$).

Gabarito: letra E