Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Posição relativa entre reta e plano

Gabarito: letra D. A reta r é concorrente não perpendicular ao plano α, e o ponto de interseção tem abscissa 10/9. Isso porque o vetor diretor de r não é paralelo ao vetor normal de α (logo não é perpendicular) e o sistema entre as equações tem solução única com x = 10/9.

A ideia por trás

Em Geometria Analítica, a posição relativa entre uma reta e um plano no espaço é determinada comparando o vetor diretor da reta com o vetor normal do plano. O vetor normal de um plano dado por ax + by + cz + d = 0 é n = (a, b, c). O vetor diretor de uma reta dada na forma paramétrica ou simétrica é o vetor (a, b, c) que multiplica o parâmetro.

A reta r é dada por duas equações: (6x - 2)/6 = (2 - z)/2 e y = -1. A primeira equação pode ser simplificada: (6x - 2)/6 = x - 1/3 e (2 - z)/2 = 1 - z/2. Igualando, temos x - 1/3 = 1 - z/2, o que rearranjado dá z = -2x + 8/3. Assim, a reta pode ser parametrizada com x = t, y = -1, z = -2t + 8/3. Portanto, o vetor diretor de r é v = (1, 0, -2).

O plano α tem equação 4x + 2y - 10z + 2 = 0, então seu vetor normal é n = (4, 2, -10).

Para verificar se a reta é perpendicular ao plano, o vetor diretor da reta deve ser paralelo ao vetor normal do plano. Isso ocorre se v = k·n para algum escalar k. Comparando as componentes: 1 = 4k, 0 = 2k, -2 = -10k. Da primeira, k = 1/4; da segunda, k = 0; da terceira, k = 1/5. Como os valores de k são diferentes, v não é paralelo a n, logo a reta não é perpendicular ao plano.

Para saber se a reta é paralela ao plano, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano, ou seja, o produto escalar v·n = 0. Calculando: v·n = (1)(4) + (0)(2) + (-2)(-10) = 4 + 0 + 20 = 24 ≠ 0. Como o produto escalar não é zero, a reta não é paralela ao plano. Portanto, a reta é concorrente (intercepta o plano em um único ponto) e não perpendicular.

Para encontrar o ponto de interseção, substituímos as equações paramétricas da reta na equação do plano: 4(t) + 2(-1) - 10(-2t + 8/3) + 2 = 0. Isso simplifica para 4t - 2 + 20t - 80/3 + 2 = 0, ou seja, 24t - 80/3 = 0, resultando em t = 80/(72) = 10/9. Como x = t, a abscissa do ponto de interseção é 10/9.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a reta é concorrente perpendicular ao plano. Isso é falso, pois o vetor diretor da reta (1, 0, -2) não é paralelo ao vetor normal do plano (4, 2, -10), como mostrado acima. A reta não é perpendicular ao plano.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a reta é concorrente não perpendicular, mas o ponto de interseção tem cota 10/9. Isso é falso, pois a cota (coordenada z) do ponto de interseção é z = -2(10/9) + 8/3 = -20/9 + 24/9 = 4/9, e não 10/9. A abscissa é que é 10/9.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a reta está contida no plano. Isso é falso, pois o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano é 24 ≠ 0, o que significa que a reta não é paralela ao plano e, portanto, não pode estar contida nele.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a reta é concorrente não perpendicular ao plano, e o ponto de interseção tem abscissa 10/9. Isso está correto, pois o vetor diretor da reta não é paralelo ao vetor normal do plano (não perpendicular) e o produto escalar não é zero (não paralela), resultando em interseção única. O cálculo da interseção fornece x = 10/9.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a reta é paralela ao plano. Isso é falso, pois o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano é 24 ≠ 0, o que significa que a reta não é perpendicular ao vetor normal e, portanto, não é paralela ao plano.

Gabarito: letra D