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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu219209
Banca
VUNESP
Órgão
EsFCEx
Ano
2025
Cargo
CFO/QC ( )
A figura representa parte de uma parábola com foco no ponto F, diretriz na reta y = 3.   Os pontos M, N e V pertencem à parábola, sendo V o seu vértice, e os pontos R e S pertencem à diretriz da parábola: O valor mínimo da parábola representada pela figura, ou seja, a ordenada do seu vértice, éImagem associada para resolução da questão
  1. A5,5.
  2. B6,5.
  3. C6,0.
  4. D7,0.
  5. E5,0.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 5,0.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a y_V = 5,0 — alternativa E.

A ideia por trás

A parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo, o foco, e de uma reta fixa, a diretriz. O vértice é o ponto da parábola mais próximo da diretriz, e ele fica exatamente no meio do caminho entre o foco e a diretriz, na perpendicular que passa pelo foco.

A distância entre o foco e a diretriz é chamada de parâmetro p. O vértice está a uma distância p/2 da diretriz (e também p/2 do foco). Se a diretriz é horizontal y = k e o foco está acima dela, a ordenada do vértice é k + p/2; se o foco está abaixo, é k - p/2.

Esta questão fornece a distância entre o foco e a diretriz pela figura, que é o parâmetro p. A partir dela, calculamos a posição do vértice usando a relação de que ele está a p/2 da diretriz.

O que a questão dá

  • diretriz: reta y = 3

  • foco F está 4 unidades acima da diretriz (pela figura)

  • vértice V pertence à parábola

O que queremos: a ordenada do vértice da parábola

Passo 1 — Identificar o parâmetro p na figura

O parâmetro p é a distância entre o foco e a diretriz, e é ele que determina a posição do vértice. A figura mostra essa distância diretamente: o foco está 4 unidades acima da diretriz.

p=4p = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir p com a distância do foco ao vértice, que é p/2. A figura dá a distância foco-diretriz, que é o parâmetro completo.

Passo 2 — Calcular a distância do vértice à diretriz

O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretriz, então ele está a metade do parâmetro da diretriz. Essa é a propriedade que usamos para achar a ordenada do vértice.

Por que esta fórmula: A definição de parábola garante que o vértice, por ser o ponto mais próximo da diretriz, fica exatamente no meio do segmento perpendicular que liga o foco à diretriz. Portanto, a distância é p/2.

d=p2d = \frac{p}{2}

De onde vem cada valor: pp = passo 1: 4

d=42=2d = \frac{4}{2} = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Usar p inteiro (4) em vez de p/2 (2) — isso daria a ordenada do foco, não a do vértice.

Passo 3 — Somar a distância à ordenada da diretriz

A diretriz está em y = 3 e o vértice está 2 unidades acima dela, pois o foco está acima da diretriz (concavidade para cima). Somando, obtemos a ordenada do vértice.

Por que esta fórmula: A ordenada do vértice é a ordenada da diretriz mais a distância vertical do vértice à diretriz, porque o vértice está acima da diretriz.

yV=yd+dy_V = y_d + d

De onde vem cada valor: ydy_d = enunciado: 3 · dd = passo 2: 2

yV=3+2=5y_V = 3 + 2 = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair em vez de somar, ou usar a distância do foco à diretriz (4) em vez da distância do vértice (2).

Resposta: y_V = 5,0 — alternativa E

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