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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219211
Banca
VUNESP
Órgão
FEMA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Em certa estante há 6 livros de poesia e 5 livros técnicos, todos de autores diferentes. Dentre esses 11 livros, o número de maneiras de se escolher 5 deles, de modo que haja pelo menos um de poesia e que o número de livros técnicos seja maior que o de livros de poesia, é igual a
  1. A130.
  2. B95.
  3. C10.
  4. D180.
  5. E60.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 180.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 180 maneiras — alternativa D.

A ideia por trás

Combinação simples é a contagem de grupos em que a ordem dos elementos não importa: escolher os livros A, B e C é o mesmo que escolher C, B e A. Ela responde 'de quantas maneiras posso montar um conjunto de k elementos a partir de n disponíveis', e a fórmula é C(n,k) = n! / (k!(n-k)!).

Quando o problema tem duas etapas independentes, multiplicamos as combinações de cada etapa (princípio multiplicativo). Quando temos casos alternativos que não podem acontecer juntos, somamos os resultados (princípio aditivo). Aqui, escolher técnicos e poesias são etapas independentes dentro de cada caso, e os casos '4 técnicos e 1 poesia' e '3 técnicos e 2 poesias' são alternativas mutuamente exclusivas.

Esta questão exige primeiro traduzir as restrições em casos possíveis de quantidades de técnicos e poesias, depois aplicar a combinação para cada caso e combinar os resultados com multiplicação e soma.

O que a questão dá

  • 6 livros de poesia

  • 5 livros técnicos

  • escolher 5 livros no total

  • pelo menos 1 de poesia

  • número de técnicos maior que o de poesias

O que queremos: o número de maneiras de escolher 5 livros satisfazendo as condições

Passo 1 — Listar as combinações possíveis de técnicos e poesias

Antes de contar, precisamos saber quais quantidades de livros técnicos (t) e de poesia (p) satisfazem as duas condições: t + p = 5, t > p e p ≥ 1. Isso restringe o problema a poucos casos.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma análise lógica das possibilidades. Testamos cada valor de t de 0 a 5 e verificamos se as condições são atendidas.

casos válidos: (t=4, p=1) e (t=3, p=2)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a condição 'pelo menos 1 poesia' e incluir o caso t=5, p=0, o que adicionaria 1 ao total.

Passo 2 — Calcular as combinações para 4 técnicos e 1 poesia

Com os casos definidos, contamos cada um separadamente. Para o caso (4,1), precisamos escolher 4 técnicos entre 5 e 1 poesia entre 6.

Por que esta fórmula: Usamos a combinação simples porque a ordem dos livros escolhidos não importa. A fórmula C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) conta quantos subconjuntos de k elementos existem em um conjunto de n.

C5,4×C6,1C_{5,4} \times C_{6,1}

De onde vem cada valor: C5,4C_{5,4} = enunciado: 5 livros técnicos, escolher 4 · C6,1C_{6,1} = enunciado: 6 livros de poesia, escolher 1

C5,4=5!4!1!=5,C6,1=6!1!5!=6C_{5,4} = \frac{5!}{4!1!} = 5, \quad C_{6,1} = \frac{6!}{1!5!} = 6
5×6=30 maneiras5 \times 6 = \boxed{30\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo em vez de combinação, contando ordens diferentes como distintas.

Passo 3 — Calcular as combinações para 3 técnicos e 2 poesias

Agora o segundo caso: escolher 3 técnicos entre 5 e 2 poesias entre 6. Novamente a ordem não importa, então usamos combinação.

Por que esta fórmula: Mesma justificativa do passo anterior: combinação simples para escolher subconjuntos.

C5,3×C6,2C_{5,3} \times C_{6,2}

De onde vem cada valor: C5,3C_{5,3} = enunciado: 5 livros técnicos, escolher 3 · C6,2C_{6,2} = enunciado: 6 livros de poesia, escolher 2

C5,3=5!3!2!=10,C6,2=6!2!4!=15C_{5,3} = \frac{5!}{3!2!} = 10, \quad C_{6,2} = \frac{6!}{2!4!} = 15
10×15=150 maneiras10 \times 15 = \boxed{150\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o cálculo de C(6,2) e usar 12 em vez de 15.

Passo 4 — Somar os resultados dos dois casos

Os dois casos são alternativas: ou escolhemos 4 técnicos e 1 poesia, ou 3 técnicos e 2 poesias. Como não podem ocorrer juntos, somamos as contagens (princípio aditivo).

Por que esta fórmula: O princípio aditivo diz que, se temos eventos mutuamente exclusivos, o total de possibilidades é a soma das possibilidades de cada evento.

30+15030 + 150

De onde vem cada valor: 3030 = passo 2 · 150150 = passo 3

30+150=180=180 maneiras30 + 150 = 180 = \boxed{180\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar os totais dos casos (30 × 150 = 4500) em vez de somar, confundindo 'ou' com 'e'.

Resposta: 180 maneiras — alternativa D

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