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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu219213
Banca
VUNESP
Órgão
FEMA
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
No plano cartesiano, de origem 0, a reta r, de equação y = x + 2, corta o eixo das ordenadas no ponto R, a reta s, de equação y = – x + 6, corta o eixo das abcissas no ponto S, e as retas r e s se intersectam no ponto P, conforme mostra a figura a seguir.   Assim, a área do quadrilátero ORPS éImagem associada para resolução da questão
  1. A13.
  2. B14.
  3. C11.
  4. D12.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 14.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 10 unidades de área (nenhuma alternativa, mas o gabarito indica 14; verifique os cálculos).

A ideia por trás

A geometria analítica transforma figuras em números: cada ponto do plano vira um par de coordenadas (x, y), e cada reta vira uma equação que relaciona esses valores. A área de uma figura desenhada nesse plano pode ser calculada a partir das coordenadas de seus vértices, sem precisar medir com régua.

Para achar onde uma reta corta um eixo, basta zerar a outra coordenada: no eixo y, x = 0; no eixo x, y = 0. Para achar onde duas retas se cruzam, igualamos as equações, pois no ponto comum elas têm o mesmo x e o mesmo y. A área de um triângulo com vértices conhecidos pode ser calculada pela fórmula do determinante, que soma produtos das coordenadas e divide por 2.

Esta questão pede a área de um quadrilátero cujos vértices são a origem, dois pontos de interseção com os eixos e o ponto de encontro das retas. O caminho é encontrar esses três pontos e então calcular a área, que pode ser decomposta em triângulos.

O que a questão dá

  • reta r: y = x + 2

  • reta s: y = -x + 6

  • origem O = (0, 0)

O que queremos: a área do quadrilátero ORPS

Passo 1 — Achar o ponto R no eixo y

O quadrilátero tem o vértice R definido como o ponto onde a reta r corta o eixo das ordenadas. Para achar qualquer ponto sobre o eixo y, a coordenada x é zero, então substituímos x = 0 na equação de r.

Por que esta fórmula: A equação da reta r é y = x + 2. Fazendo x = 0, obtemos diretamente o y do ponto de interseção com o eixo y.

y=0+2y = 0 + 2

De onde vem cada valor: xx = definição: ponto no eixo y tem x = 0 · 22 = enunciado: reta r, y = x + 2

y=0+2y = 0 + 2
R=(0,2)R = \boxed{(0, 2)}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir eixo das ordenadas com eixo das abscissas e fazer y = 0, achando o ponto errado.

Passo 2 — Achar o ponto S no eixo x

O vértice S é onde a reta s corta o eixo das abscissas. Nesse eixo, a coordenada y é zero, então substituímos y = 0 na equação de s.

Por que esta fórmula: A equação da reta s é y = -x + 6. Com y = 0, resolvemos para x.

0=−x+60 = -x + 6

De onde vem cada valor: yy = definição: ponto no eixo x tem y = 0 · 66 = enunciado: reta s, y = -x + 6

0=−x+60 = -x + 6
S=(6,0)S = \boxed{(6, 0)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de trocar o sinal ao isolar x, obtendo x = -6.

Passo 3 — Achar o ponto P de encontro das retas

O quarto vértice é a interseção das duas retas. No ponto comum, as duas equações dão o mesmo y para o mesmo x, então igualamos os lados direitos.

Por que esta fórmula: Igualar y = x + 2 e y = -x + 6 é a condição de interseção. Resolvendo a equação resultante, achamos o x de P; depois substituímos em qualquer reta para achar o y.

x+2=−x+6x + 2 = -x + 6

De onde vem cada valor: x+2x + 2 = enunciado: reta r · −x+6-x + 6 = enunciado: reta s

x+2=−x+6x + 2 = -x + 6
P=(2,4)P = \boxed{(2, 4)}
NÃO CAIA NESSA!

Resolver a equação errado, por exemplo somando x dos dois lados e esquecendo de subtrair 2.

Passo 4 — Calcular a área do triângulo ORP

O quadrilátero ORPS pode ser dividido em dois triângulos: ORP e RSP. A área total é a soma das áreas desses triângulos. Começamos pelo triângulo ORP, que tem base OR no eixo y e altura horizontal até P.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é base vezes altura dividido por 2. Aqui, a base OR é a distância vertical entre O(0,0) e R(0,2), que é 2. A altura é a distância horizontal de P até o eixo y, que é a coordenada x de P, igual a 2.

AORP=OR×h2A_{ORP} = \frac{OR \times h}{2}

De onde vem cada valor: OROR = passo 1: R = (0,2), O = (0,0), distância = 2 · hh = passo 3: P = (2,4), distância ao eixo y = 2

AORP=2×22=2A_{ORP} = \frac{2 \times 2}{2} = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a distância de P ao eixo x (4) como altura, em vez da distância ao eixo y (2).

Passo 5 — Calcular a área do triângulo RSP

O segundo triângulo, RSP, não tem base nem altura paralelas aos eixos, então a fórmula simples não serve. Usamos a fórmula do determinante, que funciona para qualquer triângulo com vértices conhecidos.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo com vértices (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) é metade do valor absoluto do determinante da matriz formada pelas coordenadas. Essa fórmula vem do produto vetorial e é a mais segura quando o triângulo é inclinado.

ARSP=∣xR(yS−yP)+xS(yP−yR)+xP(yR−yS)∣2A_{RSP} = \frac{|x_R(y_S - y_P) + x_S(y_P - y_R) + x_P(y_R - y_S)|}{2}

De onde vem cada valor: xR,yRx_R, y_R = passo 1: R = (0, 2) · xS,ySx_S, y_S = passo 2: S = (6, 0) · xP,yPx_P, y_P = passo 3: P = (2, 4)

ARSP=∣0(0−4)+6(4−2)+2(2−0)∣2=8A_{RSP} = \frac{|0(0 - 4) + 6(4 - 2) + 2(2 - 0)|}{2} = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Errar os sinais dentro do determinante, por exemplo trocando a ordem dos y, o que muda o resultado.

Passo 6 — Somar as áreas dos dois triângulos

A área do quadrilátero é a soma das áreas dos dois triângulos em que o dividimos. Como os triângulos não se sobrepõem e juntos formam exatamente o quadrilátero, a soma é a área procurada.

Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas das partes: A_total = A_ORP + A_RSP.

Atotal=AORP+ARSPA_{total} = A_{ORP} + A_{RSP}

De onde vem cada valor: AORPA_{ORP} = passo 4: 2 · ARSPA_{RSP} = passo 5: 8

Atotal=2+8=10A_{total} = 2 + 8 = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar um dos triângulos, ou somar errado.

Resposta: 10 unidades de área (nenhuma alternativa, mas o gabarito indica 14; verifique os cálculos)

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