Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219214

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a BQ = 4,5 cm — alternativa E.

A ideia por trás

A potência de ponto é uma relação entre segmentos de retas que passam por um ponto externo a uma circunferência: se uma reta tangencia a circunferência e outra a corta, o quadrado do segmento tangente é igual ao produto dos dois segmentos da secante. Já a trigonometria no triângulo retângulo relaciona os lados com os ângulos: o seno de um ângulo é o cateto oposto dividido pela hipotenusa.

Para um ponto P externo, com tangente PA e secante que corta a circunferência em B e D, vale PA² = PB · PD. No triângulo retângulo, seno = cateto oposto / hipotenusa. Essas relações permitem conectar medidas de segmentos e ângulos, e são a base para resolver problemas de geometria plana com circunferências.

Esta questão pede para usar a potência de ponto para achar a posição de P e depois a trigonometria para achar a projeção de B sobre a reta s.

O que a questão dá

raio da circunferência = 12 cm
sen(APO) = 3/8
r é tangente em A, s passa por O, Q é projeção de B sobre s

O que queremos: a distância entre B e Q

Passo 1 — Achar a distância PO

Precisamos localizar o ponto P em relação à circunferência para usar a potência de ponto. O triângulo PAO é retângulo em A, pois a tangente é perpendicular ao raio. O seno do ângulo APO é dado, e o cateto oposto é AO = 12 cm, então podemos achar a hipotenusa PO.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, seno = cateto oposto / hipotenusa. Aqui o cateto oposto ao ângulo APO é AO (raio) e a hipotenusa é PO.

\sin(\widehat{APO}) = \frac{AO}{PO}

De onde vem cada valor: $AO$ = enunciado: raio = 12 cm · $\sin(\widehat{APO})$ = enunciado: 3/8

\frac{3}{8} = \frac{12}{PO}

PO = \boxed{32\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração: colocar PO no numerador e AO no denominador, resultando em PO = 4,5 cm.

Passo 2 — Achar o comprimento da tangente PA

Com PO conhecido, podemos achar PA pelo Teorema de Pitágoras no triângulo PAO. PA é o segmento tangente que aparece na potência de ponto.

Por que esta fórmula: O triângulo PAO é retângulo em A, então vale PA² + AO² = PO².

PA^{2} + AO^{2} = PO^{2}

De onde vem cada valor: $AO$ = enunciado: 12 cm · $PO$ = passo 1: 32 cm

PA^{2} + 12^{2} = 32^{2}

PA = \boxed{4\ √55 \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz quadrada e usar PA² = 880 como se fosse PA.

Passo 3 — Aplicar a potência de ponto

A reta s passa por P e pelo centro O, cortando a circunferência em dois pontos. Um deles é B, o outro chamaremos de D. A potência de ponto relaciona PA² com os segmentos da secante, permitindo achar PB.

Por que esta fórmula: Para um ponto externo P, o produto das distâncias aos dois pontos de interseção da secante é igual ao quadrado da tangente. Como a secante passa pelo centro, os pontos de interseção estão a PO - raio e PO + raio de P.

PA^{2} = PB \cdot PD

De onde vem cada valor: $PA^{2}$ = passo 2: (4√55)² = 880 · $PD$ = definição: PD = PO + raio = 32 + 12 = 44 cm

880 = PB \cdot 44

PB = \boxed{20\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar PD = PO - raio = 20 cm, confundindo os pontos de interseção.

Passo 4 — Achar a distância BQ

Q é a projeção ortogonal de B sobre a reta s, ou seja, BQ é perpendicular a s. Como s passa por O, o triângulo BOQ é retângulo em Q. Precisamos de um ângulo ou de outra relação para achar BQ.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo BOQ, a hipotenusa é OB = 12 cm (raio). O ângulo BOQ é o mesmo que o ângulo entre a reta s e o raio OB. Como AÔB é reto, e a reta s é a reta OP, o ângulo entre s e OB é o complementar do ângulo entre s e OA. Mas podemos achar BQ diretamente: como o triângulo AOB é retângulo em O, e a reta s é a bissetriz do ângulo AÔB? Não, s é a reta que passa por O e P, e P está na tangente. Na verdade, a projeção de B sobre s é o ponto médio da corda que s determina? Não, vamos usar a relação: no triângulo retângulo BOQ, o cateto BQ é o cateto oposto ao ângulo BOQ. O ângulo BOQ é o ângulo entre OB e a reta s. Como a reta s é a reta OP, e o ângulo AOP é o mesmo que APO? Não. Vamos usar a semelhança de triângulos: o triângulo BOQ é semelhante ao triângulo PAO? Não. Vamos usar a definição de seno: no triângulo BOQ, sen(BOQ) = BQ/OB. Precisamos do seno do ângulo BOQ. O ângulo BOQ é o ângulo entre OB e a reta s. Como a reta s é a reta OP, e o ângulo entre OP e OB é o mesmo que o ângulo entre OP e OA? Não, pois AÔB é reto. Na verdade, a reta s é a reta que passa por O e P, e o ângulo entre s e OB é o complementar do ângulo entre s e OA, pois OA e OB são perpendiculares. O ângulo entre s e OA é o ângulo AOP, que é o mesmo que APO? Não, APO é o ângulo no triângulo PAO, que tem vértice em P. O ângulo AOP é o ângulo no triângulo AOP, com vértice em O. No triângulo PAO, os ângulos são: reto em A, APO = θ, e AOP = 90° - θ. Portanto, o ângulo entre s (que é OP) e OA é AOP = 90° - θ. Como OA e OB são perpendiculares, o ângulo entre s e OB é 90° - (90° - θ) = θ. Logo, o ângulo BOQ = θ. Então sen(BOQ) = sen(θ) = 3/8. Assim, BQ = OB · sen(θ) = 12 · 3/8 = 4,5 cm.

BQ = OB \cdot \sin(\theta)

De onde vem cada valor: $OB$ = enunciado: raio = 12 cm · $\sin(\theta)$ = enunciado: 3/8

BQ = 12 \cdot \frac{3}{8}

BQ = \boxed{4{,}5\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Achar que BQ é a metade do raio (6 cm) por confundir com a projeção do centro.

Resposta: BQ = 4,5 cm — alternativa E

Questão de Matemática — Potência de Ponto — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Achar a distância PO

Passo 2 — Achar o comprimento da tangente PA

Passo 3 — Aplicar a potência de ponto

Passo 4 — Achar a distância BQ